Задача о дележе ставки

Различные игры появились еще в глубокой древности, и одними из первых, получивших широкое распространение, были так называемые азартные игры – от арабского «азар» – трудный. Свое название они получили из-за сложности выбросить редко выпадавшие комбинации костей – кубиков с нанесенными на грани точками. Очень быстро просто игра превратилась в игру на деньги, и это способствовало не только появлению шулеров и азартных игроков, но и развитию новой науки! Перед математиками вставали новые задачи, и для их решения создавался новый раздел – теория вероятностей.

Особенно интересно наблюдать, как менялось понятие «справедливости» в ситуации, когда игроки уже сделали свои ставки, но игру почему-то закончить не могут. Например, сделав ставку по 32 монеты, игроки договорились играть до трех побед, но один из них выиграл 2 партии, второй – только одну. Сколько монет должен забрать каждый?

Одним из первых математиков, размышлявших над задачей о дележе ставки еще в конце XV века, был Лука Пачоли. Он предлагал просто разделить сумму ставок между игроками в отношении выигранных партий, однако такой подход никак не учитывал, сколько побед оставалось игроку до получения всей суммы. Сравните ситуации: счет 6 / 4 при игре до семи очков и при игре до, например, 20 очков? Согласитесь, есть разница.

Позже математики предлагали еще не одно решение, основанное исключительно на арифметических соображениях. Например, итальянский математик Никколо Тарталья считал, что отклонение от половины суммы ставок должно быть пропорционально разности выигранных партий. И только в 1654 году в переписке между Блезом Паскалем и Пьером Ферма результаты двух великих ученых совпали.

Паскаль писал: «Как я вижу, истина одна – и в Тулузе, и в Париже». И заключалась она именно в теории вероятностей: делить ставку нужно в отношении вероятностей выиграть полную сумму. Давайте вместе с Паскалем подумаем над задачей выше. Оба игрока сделали ставку в 32 монеты и договорились играть до трех побед, первый выиграл две партии, а второй – одну. Предположим, что они сыграют еще одну партию. В случае, если выиграет первый игрок, он заберет себе всю сумму – 64 монеты. Если выиграет второй, то у них будет одинаковое число побед, и справедливо будет забрать каждому свою ставку – по 32 монеты. Получается, 32 монеты гарантированы первому игроку, а оставшиеся 32 достанутся либо первому, либо второму, а значит, их можно поделить между ними пополам. Первый игрок получит 32 + 32 / 2 = 48 монет, а второй – 32 / 2 = 16 монет. А что произошло с точки зрения теории вероятностей?

С точки зрения теории вероятностей, с вероятностью 1/2 первый игрок получит всю сумму уже после одной партии, после чего у них будут одинаковые шансы на победу, а значит вероятность выиграть всю сумму для второго игрока равна 1/2 × 1/2 = 1/4, поэтому справедливо в такой ситуации будет отдать ему только четверть суммы ставок.

Попробуем теперь рассчитать по методу Паскаля-Ферма, в каком отношении ставки должны делиться при счете 6 / 4 и игре до разного количества очков. Если игроки играют до 7 очков, то с вероятностью 1/2 второму игроку удастся обыграть первого в следующей партии, с вероятность 1/2 × 1/2 у него будет 2 победы подряд, и счет сравняется. Тогда с вероятностью 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8 второй игрок «сорвет банк» – получит всю сумму ставок, а значит, только восьмую часть суммы он должен забрать сейчас.

В случае, когда игроки играют хотя бы до 8 очков, второй игрок уже может проиграть одну партию так, чтобы банк не достался первому игроку, и при этом ему нужно одержать 4 победы. Максимальное количество партий, которые будут сыграны: 1 + 4 = 5. Попробуем изобразить на схеме, кто «возьмет банк» при каждом раскладе:

Красным обозначим победы первого игрока, зеленым – второго. Исходы в каждом следующем столбце имеют в 2 раза меньшую вероятность, чем в предыдущем, а первый столбец и счет 6 / 4 – это данная ситуация с вероятностью 1. Получаем вероятность 1/32 для последнего столбца и 1/16 – для предпоследнего. В последнем столбце 4 зеленых исхода, в предпоследнем – один. Суммируем их вероятности: 1/16 + 4 × 1/32 = 3/16 – получим вероятность получить всю сумма ставок для второго игрока, которая уже больше 1/8, которую мы получили для игры до 7 очков, а значит, и доля суммы ставок, которую должен получить второй игрок в этом случае больше.

Что ж, у математиков ушло больше века на то, чтобы сделать решение таких задач по-настоящему справедливым – пришлось разработать новые понятия и алгоритмы и создать новый раздел науки – теорию вероятностей, а мы справились за несколько минут!