Как подготовиться к решению экономических задач ЕГЭ | 1С:Репетитор

Советы ведущего преподавателя курса 1С:Репетитор Татьяны Александровны Чернецкой Советы основаны на опыте подготовки группы учеников 11 класса в 2017 и 2018 годах, заданиях ЕГЭ 2017–2018 годов и обобщенных данных при сдаче ЕГЭ по профильной математике в 2017 и 2018 годах. Эти рекомендации будут полезны не только для учеников, но и для и их родителей.

Задание № 17 варианта КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня

Текстовая задача с экономическим содержанием – относительно новый вид заданий, появившихся в КИМ ЕГЭ профильного уровня, хотя задачи «на проценты»в вариантах вступительных экзаменов в вузы встречались в «доегэшную пору» достаточно часто, особенно если речь шла об экономических специальностях.

Решение таких задач связано со знанием некоторых специфических математических моделей из области экономики, умением переводить сформулированные в виде текста условия в уравнения и неравенства и пониманием того, как решения полученных уравнений и неравенств соотносятся с тем, что написано в условии задачи, – то есть какой смысл имеют полученные результаты.

         С чего начать подготовку к решению экономической задачи? Прежде всего, стоит вспомнить основные правила решения текстовых задач вообще (они пригодятся и для решения более простой текстовой задачи № 11 варианта КИМ).

Решение любой текстовой задачи складывается из нескольких основных моментов:

• чтение условия задачи; читайте его до тех пор, покуда сможете, не подглядывая в текст, объяснять суть описанного в задаче процесса (без конкретных числовых данных, конечно, – зазубривать ничего не нужно);

•    выбор переменных; для каждого типа задач существуют рекомендации, какие величины лучше всего обозначать как переменные (и это не всегда те величины, о которых идет речь в вопросе задачи); переменных при решении текстовой задачи нужно вводить столько, сколько их нужно для того, чтобы просто и логично составить уравнения и неравенства (не бойтесь, если переменных оказалось слишком много – например, больше, чем число уравнений: если вы все делаете правильно, то «лишние» переменные взаимно уничтожатся или сократятся;еще один вариант – в процессе решения надо будет найти не сами переменные по отдельности, а какую-либо их комбинацию);

• составление уравнений и неравенств, формализация того, что необходимо найти в процессе решения задачи; при составлении уравнений обращайте внимание на единицы измерения – они должны быть одинаковыми для всех одноименных величин;

• решение полученного уравнения, неравенства или системы;

• исследование полученного результата и нахождение ответа на вопрос задачи.

Рекомендуем вам «держать в голове» эти основные шаги решения текстовой задачи.

Если все эти правила вам хорошо знакомы и текстовые задачи вы решаете, в принципе, неплохо, то есть умеете составлять математические модели словесно описанных процессов, то дальше нужно выяснить, насколько хорошо вы владеете таким понятием как «процент». Для этого можно решить следующую устную задачку: «Цена на товар была повышена на 25%. На сколько процентов надо теперь ее снизить, чтобы получить первоначальную цену?»

«Очевидный» (и неправильный) ответ – на столько же, хотя на самом деле снизить надо на 20%. Если вы не смогли объяснить себе, почему это так, то надо хорошенько разобраться, что же такое процент. Для этого можно использовать видеоматериалы, тренажеры и задачи для самостоятельного решения, которые есть на сайте «1С:Репетитор». Начать надо с темы «Вычисление “простых” процентов».

Для изучения темы «Вычисление “простых” процентов» нужно Зарегистрироваться и Перейти к обучению в Личном кабинете:

Если приведенная выше задачка не загнала вас в тупик, то, немного потренировавшись в вычислении «простых» процентов, можно переходить к освоению формулы «сложных процентов» и ее применению в задачах с экономическим содержанием. Следующий этап – решение задач на банковские вклады, ведь такие задачи уже можно встретить в вариантах КИМ ЕГЭ. Например: «Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн рублей, где х — целое число. Найдите наименьшее значение х, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн. рублей». (Ответ: 8.)

Сравнительно недавно в вариантах КИМ появились задачи, темой которых являются банковские кредиты. Для решения таких задач необходимо познакомиться с двумя математическими моделями, лежащими в основе наиболее распространенных схем выплат по банковскому кредиту, – дифференцированной и аннуитетной. В основе этих схем лежит уже известная нам формула «сложных» процентов, а также свойства арифметической и геометрической прогрессий. Поэтому прежде чем начинать знакомиться с «кредитной» математикой необходимо повторить некоторые свойства уже упомянутых прогрессий – вам понадобятся определения, формулы n-го члена и суммы  n последовательных членов каждой из прогрессий.

При решении задач, в которых речь идет о выплате кредита в соответствии с дифференцированной или аннуитетной схемой, можно действовать двумя способами: либо использовать готовые формулы, полученные в ходе построения соответствующей математической модели, либо вычислять размер очередного платежа пошагово. Выбор способа зависит от условия задачи. Конечно, есть и еще некоторые хитрости в построении решения, которые надо знать.

К наиболее сложным задачам с экономическим содержанием относятся так называемые «задачи на оптимизацию» или экстремальные задачи. Эти задачи описывают разнообразные ситуации, с которыми граждане, предприятия и компании могут встретиться в своей экономической деятельности. К решению таких задач есть несколько подходов, из которых наиболее часто используются метод перебора вариантов и логических рассуждений и исследование функций элементарными методами и с помощью производной.

Как правило, при решении данных задач необходимо либо провести непосредственные вычисления и сравнить их результаты, либо составить уравнение (систему уравнений) и решить его (ее) с учетом некоторых дополнительных условий (например, в целых числах), либо построить функцию, устанавливающую связь между двумя экономическими величинами (например, между объемом производства и прибылью компании), и исследовать ее на экстремальное значение с помощью производной, опять же с учетом того, что данная функций описывает некий реальный процесс, от чего могут зависеть какие-то ограничения на область определения или область значений.

Задачи на оптимизацию – это уже настоящие исследовательские задачи, очень близкие по смыслу (но не по методам решения) к следующей по сложности задаче вариантов КИМ ЕГЭ – задаче с параметром. Например, на пробном экзамене в 2017 году предлагалась следующая непростая задача: «Страховой фонд владеет акциями, стоимость которых равна $t^2$ тыс. рублей в конце каждого года  t $\left(t=1, 2, \dots \right)$. Фонд может продать все акции в конце каждого года и положить все вырученные от продажи средства на счет в банке. Известно, что тогда в конце каждого следующего года банк будет увеличивать сумму, находящуюся на счете, в r раз, где r – некоторое положительное число больше единицы. Оказалось, что если фонд продаст все акции и вложит деньги в банк именно в конце 21-го года, то в конце 25-го года он получит наибольшую из возможных прибыль. Определите, какие при этом значения может принимать число r».

Сложность таких задач в том, что здесь нет готовых методов решения, каждая задача уникальна и требует своего подхода. Поэтому посоветовать можно только одно: чтобы научиться решать такие задачи, надо их решать. Впрочем, этот совет – универсальный.

Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.

Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.

Решение задачи

По условию задачи, фонд продаст все акции и вложит деньги в банк в конце 21-го года, а в конце 25-го года получит максимальную прибыль. Следовательно, в конце 21-го года у фонда будет $21^2=441$ тыс. рублей; эти деньги положат в банк, где в течение 4 лет они будут «расти» по закону «сложных процентов», то есть к концу 25-го года сумма на счете составит $441r^4$ рублей.

Составим и исследуем функцию зависимости возможной прибыли фонда от времени владения акциями. Пусть t – время, в течение которого фонд владеет акциями, тогда $\left(25-t\right)$ — время, в течение которого вырученные от продажи акций средства находятся на счете в банке. Тогда возможная прибыль фонда выражается функцией: 

$f\left(t\right)=t^2{r}^{25-t}, t\in \left(0;25\right]$.

Исследуем эту функцию на экстремум с помощью производной: 

ft=2t⋅r25-t–t2r25-tln⁡r= 0, t0=2ln⁡r

f't=2t⋅r25-t-t2⋅r25-t⋅ln⁡r=0, t0=2ln⁡r,

Поскольку максимальная прибыль фонда будет достигнута, если фонд продаст все акции в конце 21-го года, 

то точка t0∊(20;21), а для значений функции $f\left(t\right)$ должны выполняться неравенства:

f21>f20f21>f(22) ⇔ 441r4>400r5441r4>484r3 ⇔r∊484441; 441400