Как подготовиться к решению экономических задач ЕГЭ

 Чернецкая Татьяна Александровна  

Советы ведущего преподавателя курса 1С:Репетитор в 2017 году Татьяны Александровны Чернецкой


Советы основаны на опыте подготовки группы учащихся 11-го класса в 2017 году, заданиях ЕГЭ 2017 года и обобщенных данных о сдаче ЕГЭ по профильной математике в 2016–2017 годах. Эти рекомендации будут полезны не только ученикам, но и их родителям.


Задание № 19 варианта КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня

Текстовая задача с экономическим содержанием – относительно новый вид заданий, появившихся в КИМ ЕГЭ профильного уровня, хотя задачи «на проценты»в вариантах вступительных экзаменов в вузы встречались в «доегэшную пору» достаточно часто, особенно если речь шла об экономических специальностях.

Решение таких задач связано со знанием некоторых специфических математических моделей из области экономики, умением переводить сформулированные в виде текста условия в уравнения и неравенства и пониманием того, как решения полученных уравнений и неравенств соотносятся с тем, что написано в условии задачи, – то есть какой смысл имеют полученные результаты.

         С чего начать подготовку к решению экономической задачи? Прежде всего, стоит вспомнить основные правила решения текстовых задач вообще (они пригодятся и для решения более простой текстовой задачи № 11 варианта КИМ).

Решение любой текстовой задачи складывается из нескольких основных моментов:

чтение условия задачи; читайте его до тех пор, покуда сможете, не подглядывая в текст, объяснять суть описанного в задаче процесса (без конкретных числовых данных, конечно, – зазубривать ничего не нужно);

•    выбор переменных; для каждого типа задач существуют рекомендации, какие величины лучше всего обозначать как переменные (и это не всегда те величины, о которых идет речь в вопросе задачи); переменных при решении текстовой задачи нужно вводить столько, сколько их нужно для того, чтобы просто и логично составить уравнения и неравенства (не бойтесь, если переменных оказалось слишком много – например, больше, чем число уравнений: если вы все делаете правильно, то «лишние» переменные взаимно уничтожатся или сократятся;еще один вариант – в процессе решения надо будет найти не сами переменные по отдельности, а какую-либо их комбинацию);

составление уравнений и неравенств, формализация того, что необходимо найти в процессе решения задачи; при составлении уравнений обращайте внимание на единицы измерения – они должны быть одинаковыми для всех одноименных величин;

решение полученного уравнения, неравенства или системы;

исследование полученного результата и нахождение ответа на вопрос задачи.

Рекомендуем вам «держать в голове» эти основные шаги решения текстовой задачи.

Если все эти правила вам хорошо знакомы и текстовые задачи вы решаете, в принципе, неплохо, то есть умеете составлять математические модели словесно описанных процессов, то дальше нужно выяснить, насколько хорошо вы владеете таким понятием как «процент». Для этого можно решить следующую устную задачку: «Цена на товар была повышена на 25%. На сколько процентов надо теперь ее снизить, чтобы получить первоначальную цену?»

«Очевидный» (и неправильный) ответ – на столько же, хотя на самом деле снизить надо на 20%. Если вы не смогли объяснить себе, почему это так, то надо хорошенько разобраться, что же такое процент. Для этого можно использовать видеоматериалы, тренажеры и задачи для самостоятельного решения, которые есть на сайте «1С:Репетитор». Начать надо с темы «Вычисление “простых” процентов».

Для изучения темы «Вычисление “простых” процентов» нужно Зарегистрироваться и Перейти к обучению в Личном кабинете:

Личный кабинет  

Если приведенная выше задачка не загнала вас в тупик, то, немного потренировавшись в вычислении «простых» процентов, можно переходить к освоению формулы «сложных процентов» и ее применению в задачах с экономическим содержанием. Следующий этап – решение задач на банковские вклады, ведь такие задачи уже можно встретить в вариантах КИМ ЕГЭ. Например: «Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн рублей, где х — целое число. Найдите наименьшее значение х, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн. рублей». (Ответ: 8.)

Сравнительно недавно в вариантах КИМ появились задачи, темой которых являются банковские кредиты. Для решения таких задач необходимо познакомиться с двумя математическими моделями, лежащими в основе наиболее распространенных схем выплат по банковскому кредиту, – дифференцированной и аннуитетной. В основе этих схем лежит уже известная нам формула «сложных» процентов, а также свойства арифметической и геометрической прогрессий. Поэтому прежде чем начинать знакомиться с «кредитной» математикой необходимо повторить некоторые свойства уже упомянутых прогрессий – вам понадобятся определения, формулы n-го члена и суммы  n последовательных членов каждой из прогрессий.

При решении задач, в которых речь идет о выплате кредита в соответствии с дифференцированной или аннуитетной схемой, можно действовать двумя способами: либо использовать готовые формулы, полученные в ходе построения соответствующей математической модели, либо вычислять размер очередного платежа пошагово. Выбор способа зависит от условия задачи. Конечно, есть и еще некоторые хитрости в построении решения, которые надо знать.

К наиболее сложным задачам с экономическим содержанием относятся так называемые «задачи на оптимизацию» или экстремальные задачи. Эти задачи описывают разнообразные ситуации, с которыми граждане, предприятия и компании могут встретиться в своей экономической деятельности. К решению таких задач есть несколько подходов, из которых наиболее часто используются метод перебора вариантов и логических рассуждений и исследование функций элементарными методами и с помощью производной.

Как правило, при решении данных задач необходимо либо провести непосредственные вычисления и сравнить их результаты, либо составить уравнение (систему уравнений) и решить его (ее) с учетом некоторых дополнительных условий (например, в целых числах), либо построить функцию, устанавливающую связь между двумя экономическими величинами (например, между объемом производства и прибылью компании), и исследовать ее на экстремальное значение с помощью производной, опять же с учетом того, что данная функций описывает некий реальный процесс, от чего могут зависеть какие-то ограничения на область определения или область значений.

Задачи на оптимизацию – это уже настоящие исследовательские задачи, очень близкие по смыслу (но не по методам решения) к следующей по сложности задаче вариантов КИМ ЕГЭ – задаче с параметром. Например, на пробном экзамене в 2017 году предлагалась следующая непростая задача: «Страховой фонд владеет акциями, стоимость которых равна t2 тыс. рублей в конце каждого года  t t=1, 2, . Фонд может продать все акции в конце каждого года и положить все вырученные от продажи средства на счет в банке. Известно, что тогда в конце каждого следующего года банк будет увеличивать сумму, находящуюся на счете, в r раз, где r – некоторое положительное число больше единицы. Оказалось, что если фонд продаст все акции и вложит деньги в банк именно в конце 21-го года, то в конце 25-го года он получит наибольшую из возможных прибыль. Определите, какие при этом значения может принимать число r».

Сложность таких задач в том, что здесь нет готовых методов решения, каждая задача уникальна и требует своего подхода. Поэтому посоветовать можно только одно: чтобы научиться решать такие задачи, надо их решать. Впрочем, этот совет – универсальный.

Регулярно тренируйтесь в решении задач

Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.
Вы можете:

  • заниматься самостоятельно и бесплатно, используя учебные материалы, включающие комплекс видеоуроков, пошаговых тренажеров и онлайн-тестов по каждой теме ЕГЭ;
  • воспользоваться более эффективным (с учетом особенностей восприятия учащихся) средством: пройти, курс онлайн-занятий с преподавателем, на которых будут детально разбираться теория и способы решения задач ЕГЭ по математике.

Первый вебинар, посвященный рациональным уравнениям и неравенствам, состоялся 7 октября 2017 года. Записи вебинаров будут доступны пользователям, оформившим подписку на весь курс за 9900 ₽. Для пробы можете сначала, купить доступ на ближайший вебинар за 449 ₽

Решение задачи

По условию задачи, фонд продаст все акции и вложит деньги в банк в конце 21-го года, а в конце 25-го года получит максимальную прибыль. Следовательно, в конце 21-го года у фонда будет 212=441 тыс. рублей; эти деньги положат в банк, где в течение 4 лет они будут «расти» по закону «сложных процентов», то есть к концу 25-го года сумма на счете составит 441r4 рублей.

Составим и исследуем функцию зависимости возможной прибыли фонда от времени владения акциями. Пусть t – время, в течение которого фонд владеет акциями, тогда 25-t — время, в течение которого вырученные от продажи акций средства находятся на счете в банке. Тогда возможная прибыль фонда выражается функцией: 

ft=t2r25-t, t0;25.

Исследуем эту функцию на экстремум с помощью производной: 

ft=2tr25-tt2r25-tlnr= 0, t0=2lnr

f't=2tr25-t-t2r25-tlnr=0, t0=2lnr,

и в этой точке должен достигаться максимум функции ft.

Поскольку максимальная прибыль фонда будет достигнута, если фонд продаст все акции в конце 21-го года

то точка t0(20;21), а для значений функции ft должны выполняться неравенства:

f21>f20f21>f(22)  441r4>400r5441r4>484r3 r484441; 441400

Здесь ключевые фразы, чтобы поисковые роботы лучше находили наши советы:
Как решать задание 19 в экзамене ЕГЭ, задачи с экономическим содержанием, ким ЕГЭ 2017, подготовка к ЕГЭ профиль математика, Математика профиль, решение экономических задач егэ, решение задач на проценты ЕГЭ, вычисление простых процентов, формулы сложных процентов, экономические задачи по математике профильного уровня, решение задач на банковские вклады, задачи ЕГЭ 2017 по банковским процентам, подготовка к егэ выпускникам 11 класса в 2018 году, поступающим в технический вуз.