Как подготовиться к решению заданий ЕГЭ № 16 по планиметрии

 Чернецкая Татьяна Александровна  

Советы ведущего преподавателя курса 1С:Репетитор
Татьяны Александровны Чернецкой


Советы основаны на опыте подготовки группы учеников 11 класса в 2017 и 2018 годах, заданиях ЕГЭ 2017–2018 годов и обобщенных данных при сдаче ЕГЭ по профильной математике в 2017 и 2018 годах. Эти рекомендации будут полезны не только для учеников, но и для и их родителей.

Задача № 16 по планиметрии – объективно одна из самых трудных.

Задача № 16 по планиметрии, которую включает вариант КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня, – объективно одна из самых трудных, если не самая сложная для абитуриентов. Дело в том, что в обычной (не профильной или специализированной) школе планиметрию изучают только в 7–9-х классах, на эту дисциплину отводится два урока в неделю, что совершенно недостаточно для того, чтобы хорошо изучить свойства фигур планиметрии и научиться применять их при решении задач. Кроме того, каждая задача по геометрии уникальна по своему содержанию, поэтому для решения таких задач практически неприменим алгоритмический подход, который является весьма успешным при решении задач по алгебре, в результате многие школьники даже не пытаются решать геометрические задачи. Все это приводит к тому, что и сравнительно несложная задача по планиметрии становится непосильной для выпускников школ.

Ситуацию можно исправить, но потребуется немало сил и времени и, конечно, хорошая методика подготовки. Наша методика основана на концепции известного отечественного методолога и методиста, специалиста по преподаванию геометрии И.Ф. Шарыгина. Суть концепции, которую сам автор называл «геометрией фигуры», заключается в том, что в учебных материалах последовательно разбираются свойства геометрических фигур и их элементов (замечательных линий и точек), начиная от прямоугольного треугольника и заканчивая комбинациями многоугольников и окружностей, причем внимание акцентируется именно на решении задач.

Конечно, для решения геометрических задач большое значение имеет хорошее знание теории, поэтому в наших материалах много кратких видеолекций, суммирующих необходимые теоретические знания . Обучая теории, мы сразу же разбираем опорные задачи, в которых она применяется, осваиваем специальные приемы решения задач – например метод проекций, метод площадей, метод вспомогательной окружности и т. д.

После изучения теории нужно браться за самостоятельное решение задач. При этом можно выбрать приемлемую траекторию продвижения по системе задач. Для менее подготовленных школьников мы рекомендуем решать задачи «по фигурам», то есть в следующем порядке.

Сначала – прямоугольный треугольник, медиана в прямоугольном треугольнике, биссектриса в прямоугольном треугольнике, высота в прямоугольном треугольнике . Затем переходим к равнобедренному и произвольному треугольникам, параллелограмму, трапеции и т. д.

Для более сильных школьников предлагается другой путь – систематизация и обобщение свойств геометрических фигур и их элементов.

Прямоугольный треугольник, произвольный треугольник (теорема синусов, теорема косинусов, площади), медиана в прямоугольном треугольнике, медиана в равнобедренном и произвольном треугольнике и т. д.

Описанный подход позволяет нашим ученикам актуализировать свои школьные знания, обобщить и углубить их, систематически сочетая изучение теории с практикой ее применения. Большую помощь в решении задач оказывают пошаговые тренажеры: в геометрической задаче, ход решения которой может быть неочевиден с самого начала, тренажер позволяет сориентироваться в шагах решения, проверить промежуточные вычисления на каждом шаге и обосновать сами шаги нужной теоремой или свойством.

После такой подготовки задачи по планиметрии варианта КИМ ЕГЭ покажутся и не такими уж сложными. Посмотрим, например, как можно «раскусить» следующую довольно непростую, но в то же время изящную задачу, предлагавшуюся на экзамене в 2016–2017 годах.


Пример задачи № 16 по планиметрии:

Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что BAC =OBC +OCB.

Чертеж 1
Чертеж 1

  1. Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.
  2. Найдите угол OIH, если ABC =55°.

Ответ: 175°.

Решение:

  1. Посмотрим на чертеж. Если нам предлагают доказать, что четыре точки лежат на одной окружности, то согласно теореме об угле, вписанном в окружность, и следствиям из нее, нужно либо поискать на чертеже 1 равные углы, опирающиеся на один и тот же отрезок (хорду) и расположенные по одну сторону от него, либо углы, сумма которых равна 180° и которые также опираются на один и тот же отрезок, но расположены по разные стороны от него. В нашем случае подходит первый вариант.

  2. Итак, во-первых, по теореме об угле, вписанном в окружность, BAC =OBC +OCB=12BOC,

    но OBC +OCB+BOC=180°,

    то есть BOC+12BOC=180°BOC=120°BAC=60°

  3. Во-вторых, находим угол между двумя биссектрисами. В нашем случае BIC=90°+12BAC=120°.
    Этот факт мы доказываем в своем курсе, чтобы на экзамене вы могли без труда им воспользоваться.
  4. Итого, BOC=BIC=120°, следовательно точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.

  5. Прежде всего найдем все углы треугольника ABC: BAC =60°, ABC =55°, ACB =65°.

  6. Затем подумаем вот о чем: а не лежит ли точка H на окружности, описанной около треугольника BOC? И это действительно так: обсуждая в нашем курсе свойства высот треугольника, мы обращаем внимание учащихся на тот факт, что угол между высотами – в данном случае BHC =180°-BAC=120°, то есть наша догадка верна.

  7. Теперь осталось правильно расположить точки B, H, I,O, C на окружности (чертеж 2) и вычислить угол OIH. Например, так:
    OIH=180°-HCO,
    HBO=HCB-OCB,
    HCB=90°-ABC=35°,
    OCB=30° HBO= HCB - OCB =5° OIH=175° — Вот и ответ.
    Чертеж 2Увеличенный фрагмент чертежа 2
    Чертеж 2Увеличенный фрагмент чертежа 2


Оценить свои стартовые знания по планиметрии вы можете с помощью заданий с кратким ответом: №3 и №6 . Если возникнут затруднения, воспользуйтесь подсказками: они помогут справиться с решением. Если же эти задачи вы решаете легко, то приступайте к более сложным (и более увлекательным) задачам по планиметрии.

Регулярно тренируйтесь в решении задач

Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно зарегистрироваться.
Вы можете:

  • заниматься самостоятельно и бесплатно, используя учебные материалы, включающие комплекс видеоуроков, пошаговых тренажеров и онлайн-тестов по каждой теме ЕГЭ;
  • воспользоваться более эффективным (с учетом особенностей восприятия учащихся) средством: пройти курс онлайн-занятий с преподавателем, на которых будут детально разбираться теория и способы решения задач ЕГЭ по математике.

В 2017 году мы провели серию вебинаров, по планиметрии — Записи уже прошедших вебинаров доступны пользователям, оформившим подписку на весь курс 9900₽ 7900₽. Для пробы можете купить доступ на один месяц за 990₽

Здесь ключевые фразы, чтобы поисковые роботы лучше находили наши советы:
Как решать задание 16 на экзамене ЕГЭ, задачи по планиметрии, решение задач, по планиметрии, методы решения задач, теория по теме «Планиметрия, часть С», пробники ЕГЭ, а основе экзаменов прошлых лет просмотреть, подготовка к ЕГЭ 2018, учимся решать задачи по планиметрии, Планиметрические задачи профильного ЕГЭ, Решение задач по планиметрии, тесты по планиметрии, примеры и решения заданий по теме планиметрии, задачи сопровождаются подробными пояснениями и чертежами, задачи на нахождение углов и радиусов, треугольник, трапеция, параллелограмм, квадрат, ромб, прямоугольник, примеры решения задач ЕГЭ по геометрии, Видеокурс по решению задач по планиметрии, какого радиуса должна быть окружность, тесты для подготовки и самоподготовки к ЕГЭ, КИМ ЕГЭ 2017, подготовка к ЕГЭ, профиль математика, математика профильного уровня, задачи ЕГЭ 2017 по стереометрии, подготовка к ЕГЭ, выпускникам 11 класса, в 2018 году, поступающим в технический вуз, материал для подготовки к ЕГЭ.