Доказательство теоремы Пифагора

• с теоремой Пифагора;
• простейшим доказательством теоремы;
• алгебраическим доказательством;
• доказательством через подобие треугольников;
• через косинус угла;
• обратной теоремой;
• доказательством обратной теоремы;
• примерами решения заданий.

Теорема Пифагора

Одна из основных теорем в геометрии, относящаяся только к прямоугольному треугольнику (треугольник, у которого есть угол в 90 градусов).

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

где a и b — катеты прямоугольного треугольника, c — его гипотенуза. Отсюда следует, что:

Простейшее доказательство

Для данного доказательства необходим равнобедренный треугольник с прямым углом (то есть катеты будут равны между собой). Далее необходимо составить две «мозаики» из них:

1. Построим квадрат из данных треугольников, соединив прямые углы. Получится квадрат со стороной, равной гипотенузе с, и диагоналями, равными двойному катету (2а). Соответственно, данный квадрат будет состоять из 4-х таких треугольников.
2. Построим квадрат таким же способом, только в этот раз соединим гипотенузы. Получится сторона квадрата, равная катету а, и диагональ, равная гипотенузе с. Данный квадрат будет состоять из 2-х треугольников.

На этом теорема является доказанной (2² = 4).

Алгебраическое доказательство

Возьмём квадрат, состоящий из треугольников. Полученная сторона квадрата будет равна a + b. Соответственно площадь

Так как квадрат состоит из 4-х равных между собой прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ab/2 и сторона квадрата — с, то

Подставим S:

Теорема доказана.

Через подобие треугольников

Для начала необходимо провести высоту (CD) в прямоугольном треугольнике из прямого угла. Получим два прямоугольных треугольника. Данные треугольники будут являться подобными, и из подобия выведем:

Отсюда получим:

Подставим обозначение сторон прямоугольного треугольника (a, b, c)

Сложим два равенства в одно:

или

Теорема доказана.

Через косинус угла

Проведём высоту (CD) из вершины прямого угла (C). По определению косинуса угла:

Значит,

И для угла B:

и

Сложим два равенства в одно:

Теорема доказана.

Обратная теорема Пифагора

Если утверждение «Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы» справедливо для каждого прямоугольного треугольника, то обратная теорема (о том, что треугольник является прямоугольным) гласит:

1. Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то угол, лежащий против этой стороны, является прямым.
2. Угол треугольника, лежащий против стороны, квадрат которой равен сумме квадратов двух других сторон, прямой.

У данной теоремы есть две формулировки, и последняя является формулировкой обратной теоремы.

Доказательство обратной теоремы

Возьмём треугольник ABC со сторонами a, b и c такими, что Докажем, что угол А будет равен 90 градусам.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник (назовем его A’B’C’) с прямым углом А’, где A’B’ = a и A’C’ = b.

По теореме Пифагора

Значит, . Так как по условию теоремы, то

Треугольники ABC и A’B’C’ равны по трём сторонам, соответственно, и углы A и A’ равны между собой и равны 90 градусам. Значит, треугольник ABC — прямоугольный.

Теорема доказана.

Примеры:

1) Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, зная длины катетов — 4 и 3 см.

Решение: по теореме Пифагора «Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы», поэтому квадрат гипотенузы = 4² + 3² = 16 + 9 = 25.

Откуда гипотенуза равна √25 или 5 см.

Ответ: 5 см.

2) Найти катет прямоугольного треугольника, зная гипотенузу с = 5 см и катет b = 3 см.

Решение: по теореме Пифагора , отсюда катет a будет равен:

Ответ: 4 см.

3) Доказать, что треугольник является прямоугольным. Его стороны: a = 6 см, b = 8 см и c = 10 см.

Решение: по теореме Пифагора . Подставим значения и проверим выполнение данного условия:

Тождество сохраняется, значит, условие выполнено, и данный треугольник является прямоугольным.