О нас

Array
(
    [0] => Наша методика
    [1] => /about/method/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Наша методика

Array
(
    [0] => Преимущества
    [1] => /about/advantage/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Преимущества

Array
(
    [0] => Наши преподаватели
    [1] => /about/teachers/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Наши преподаватели

Array
(
    [0] => Контакты
    [1] => /about/contacts/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Контакты

Блог

Материалы

Array
(
    [0] => Как готовиться к ЕГЭ?
    [1] => /materials/exam-prepare/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Как готовиться к ЕГЭ?

Array
(
    [0] => Учебные материалы
    [1] => /materials/learning/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Учебные материалы

Array
(
    [0] => Образовательным организациям
    [1] => /materials/partners/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Образовательным организациям

Array
(
    [0] => Пользовательское соглашение
    [1] => /materials/agreement/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Пользовательское соглашение

Справочник

Array
(
    [0] => Арифметика
    [1] => /arithmetic/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Арифметика

Array
(
    [0] => Алгебра
    [1] => /algebra/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Алгебра

Array
(
    [0] => Планиметрия
    [1] => /planimetry/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Планиметрия

Array
(
    [0] => Информатика
    [1] => /informatics/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Информатика

Array
(
    [0] => Русский язык
    [1] => /russian/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Русский язык

Контакты

Личный кабинет

8 800 551-50-78 (бесплатно)

БЕСПЛАТНАЯ ПОДГОТОВКА К ЕГЭ ПО ПРОФИЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Подготовься к ЕГЭ-2024 по профильной математике самостоятельно с помощью сервича "1С:Репетитор"!
Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Вы успеете подготовиться к экзамену! Начните занятия прямо сейчас!

Касание окружностей

В данной теме рассмотрим касание окружностей, разные вариации и пример.

Теория

Напомним, что касанием называется соприкосновение двух геометрических тел. Тут следует обратить внимание на то, что тела соприкасаются именно в одной точке, которая и будет называться точкой соприкосновения.

Виды касаний

Внешнее: две окружности соприкасаются, причём они находятся по разные стороны друг от друга.
Внутреннее: когда одна окружность находится внутри другой.

виды касаний

В первом случае сразу получаем пару интересных свойств:

От центра одной окружности до центра другой расстоянием будет являться сумма радиусов этих окружностей.
Соответственно, от границы одной окружности до границы другой (если смотреть слева направо) ― сумма из диаметров.
Касательная по своему свойству и построению будет перпендикулярна сразу двум радиусам.

Во втором же случае можно лишь отметить то, что по построению диаметр малой окружности так или иначе будет лежать на диаметре другой окружности. Свойство касательной к точке соприкосновения двух этих геометрических тел будет работать также.

Пример задачи

Даны две окружности, которые соприкасаются в точке К₂. Известно, что радиус большей окружности (R) равен 10 см, а второй в два раза меньше. Необходимо найти площадь трапеции OO₁K₁K и её периметр. Центры окружностей лежат на одной линии.

formula02

Решение: так как рисунок нам уже дан, и на нём всё указано, что нам необходимо для нахождения ответа, то можем сразу приступать. Для начала найдём второй радиус. По условию:

formula03 ,

Откуда:

formula04

По формуле площади трапеции:

formula05

где О₁К₁ ― верхнее основание трапеции (справа на рисунке) и будет равно R по построению; ОК ― нижнее (слева) и равно r по построению; а ОО₁ будет являться её высотой.

По условию центры окружностей лежат на одной линии. Значит ОО₁ будет равно сумме двух радиусов:

formula06