Напомним, что касанием называется соприкосновение двух геометрических тел. Тут следует обратить внимание на то, что тела соприкасаются именно в одной точке, которая и будет называться точкой соприкосновения.
В первом случае сразу получаем пару интересных свойств:
Во втором же случае можно лишь отметить то, что по построению диаметр малой окружности так или иначе будет лежать на диаметре другой окружности. Свойство касательной к точке соприкосновения двух этих геометрических тел будет работать также.
Даны две окружности, которые соприкасаются в точке К₂. Известно, что радиус большей окружности (R) равен 10 см, а второй в два раза меньше. Необходимо найти площадь трапеции OO₁K₁K и её периметр. Центры окружностей лежат на одной линии.
Решение: так как рисунок нам уже дан, и на нём всё указано, что нам необходимо для нахождения ответа, то можем сразу приступать. Для начала найдём второй радиус. По условию:
,
Откуда:
По формуле площади трапеции:
где О₁К₁ ― верхнее основание трапеции (справа на рисунке) и будет равно R по построению; ОК ― нижнее (слева) и равно r по построению; а ОО₁ будет являться её высотой.
По условию центры окружностей лежат на одной линии. Значит ОО₁ будет равно сумме двух радиусов:
Подставляем в формулу площади трапеции:
Чтобы узнать периметр, нам необходимо знать все стороны. Сторону КК₁ мы найдём из треугольника АКК₁ по теореме Пифагора.
Причём (см) и
.
.
Считаем сумму и затем извлекаем из неё корень:
(см).
Откуда
Периметр трапеции (см).
Ответ: 112,5 см; 30+ 5√10 см.