Обратная сторона бесконечности

Обратная сторона бесконечности

Здравствуйте!

Сриниваса Рамануджан Сегодня мы следом за Сринивасой Рамануджаном узнаем страшную тайну натурального ряда. Нам потребуется минут пятнадцать, чтобы ее обнаружить, и, возможно, целая жизнь, чтобы потом свыкнуться с этим знанием.

Натуральный ряд — это просто сумма всех натуральных чисел от 1 до бесконечности. Возьмем их и начнем последовательно прибавлять одно к другому:

S=1+2+3+4+5+6+ 

Чему равно S? Ответ элементарен, как 2 × 2, скажете вы, сумма этого ряда равна бесконечности? Погодите, не всё так просто. Как мы уже убедились, ряды способны преподносить сюрпризы на ровном месте. Оригинальное решение этой (и ряда других) задачи принесло известность, путевку в Лондон и, в конечном итоге, трагически раннюю смерть Сринивасе Рамануджану, математику-самоучке из Индии.

Среди прочих формул, которые юный Рамануджан в 1913 г. отослал в Лондон Годфри Харди, было исследование суммы натурального ряда. Рамануджан нашёл, что S=-112. Сумма всех целых положительных чисел равна минус одной двенадцатой. Это не какой-то хитрый фокус, это важный научный результат, который находит практическое применение в квантовой физике и теории струн. Еще раз:

S=1n=-112.Разумеется, в классическом смысле этот ряд — расходящийся, ведь конечного предела у его частичных сумм нет:

limn1nn=.

Но путём нехитрых манипуляций, понятных даже пятикласснику, мы сейчас самостоятельно выведем, что сумма натурального ряда равна -112. Это один из двух методов, которыми пользовался сам Рамануджан в письме Харди. Сперва рассмотрим две другие суммы. S1 — сумму ряда, состоящего из 1 и −1. Этот ряд называется рядом Гранди, в честь итальянского математика Луиджи Гвидо Гранди, который первым обнаружил, что ему можно приписать полную сумму, равную 12.

S1=1-1+1-1+1-1+=12
и сумму ряда, получаемого умножением ряда Гранди на натуральный ряд:
S2=1-2+3-4+5-6+

Для второго ряда S2 рассмотрим удвоенную сумму этого ряда:

2S2=1-2+3-4+5-6++                 1-2+3-4+5-6+

Мы сдвинули вторую копию ряда на одно значение вправо, чтобы лучше была видна идея: складывая второе число первого ряда с первым числом второго, второе — с третьим, и так далее, мы получим, что 2S2 = S1:

2S2= 1+-2+1+3-2+-4+3+5-4+-6+5=1-1+1-1+1-1+=12,
откуда получаем, что S2=14.
Теперь вычтем S2 из суммы натурального ряда S:
S-S2=1+2+3+4+5+6+-1-2+3-4+5-6+= 1-1+2+2+3-3+4+4+5-5+6+6+=0+4+0+8+0+12+

Но ряд S-S2=4+8+12+16+ представляет собой умноженный на 4 исходный ряд S! Т.е. мы теперь получаем очень простое уравнение: S − S2 = 4S. Нам уже известно, что S2=14. Отсюда:

S-14=4S 3S=-14S=-112

Вот так, пользуясь лишь арифметическими операциями из арсенала средней школы, мы показали, что сумма всех натуральных чисел от 1 до бесконечности равняется -112. Круто!

-1/12 meme