Как решать задачу ЕГЭ № 13 на показательные и логарифмические уравнения

 Чернецкая Татьяна Александровна  

Советы ведущего преподавателя курса 1С:Репетитор в 2017 году Татьяны Александровны Чернецкой


Советы основаны на опыте подготовки группы учащихся 11-го класса в 2017 году, заданиях ЕГЭ 2017 года и обобщенных данных о сдаче ЕГЭ по профильной математике в 2016–2017 годах. Эти рекомендации будут полезны не только ученикам, но и их родителям


Что нужно знать о показательных и логарифмических уравнениях для решения задач ЕГЭ по математике?

Уметь решать показательные и логарифмические уравнения очень важно для успешной сдачи единого государственного экзамена по математике профильного уровня. Важно по двум причинам:

Во-первых, задание № 13 варианта КИМ ЕГЭ пусть нечасто, но все же иногда представляет собой именно такое уравнение, которое нужно не просто решить, но и (аналогично заданию по тригонометрии) выбрать корни уравнения, удовлетворяющие какому-либо условию.

Так, один из вариантов 2017 года включал следующее задание:

а) Ре­ши­те урав­не­ние 8x – 7 . 4x – 2 x+4 + 112 = 0.

б) Ука­жи­те корни этого уравнения, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку [log25; log211].

                          Ответ: а) 2; log27 и б) log27.

В другом варианте было такое задание:

а) Ре­ши­те урав­не­ние 6log82x – 5log8x + 1 = 0

б) Най­ди­те все корни этого уравнения, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку [2; 2,5].

                          Ответ: а) 2 и 2√2;  б) 2.

Встречалось и такое:

а) Ре­ши­те урав­не­ние 2log32(2cos x) – 5log3(2cos x) + 2 = 0.

б) Най­ди­те все корни этого уравнения, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку [π; 5π/2].

                          Ответ: а) {π/6 + 2πk; -π/6 + 2πk, k∊Z} и  б) 11π/6; 13π/6.

Во-вторых, изучение методов решения показательных и логарифмических уравнений является хорошей подготовкой к решению задачи № 15, так как в основных методах решения и уравнений, и неравенств фактически используются одни и те же математические идеи.

Основные методы решения показательных и логарифмических уравнений несложно запомнить, их всего пять: сведение к простейшему уравнению, использование равносильных переходов, введение новых неизвестных, логарифмирование и разложение на множители. Отдельно стоит метод использования свойств показательной, логарифмической и других функций при решении задач: иногда ключом к решению уравнения является область определения, область значений, неотрицательность, ограниченность, четность входящих в него функций.

Как правило, в задаче № 13 встречаются уравнения, требующие применения перечисленных выше пяти основных методов. Каждый из этих методов имеет свои особенности, которые необходимо знать, так как именно их незнание приводит к ошибкам при решении задач.

Какие типичные ошибки совершают экзаменуемые?

Нередко при решении уравнений, содержащих показательно-степенную функцию, школьники забывают рассмотреть один из случаев выполнения равенства. Как известно, уравнения такого вида равносильны совокупности двух систем условий (см. ниже), речь идет о случае, когда a(x) = 1

Логарифмы и показательные уравнения

Данная ошибка связана с тем, что решая уравнение экзаменуемый формально использует определение показательной функции (y = ax, a>0, a ≠ 1): при а ≤ 0 показательная функция действительно не определена,

       а вот при а = 1 определена, но не является показательной, так как единица в любой действительной степени тождественно равна самой себе. А значит если в рассматриваемом уравнении при а(x) = 1 возникает верное числовое равенство, то соответствующие значения переменной будут корнями уравнения.

Еще одна ошибка – применение свойств логарифмов без учета области допустимых значений. Например, хорошо знакомое многим свойство «логарифм произведения равен сумме логарифмов», оказывается, имеет обобщение:
       loga(f(x)g(x)) = logaf(x)│ + loga│g(x)│, при f(x)g(x) > 0, a > 0, a ≠ 1

Действительно, для того, чтобы было определено выражение в левой части этого равенства, достаточно, чтобы произведение функций f и g было положительным, но сами функции при этом могут быть как одновременно больше, так и одновременно меньше нуля, поэтому при применении данного свойства необходимо использовать понятие модуля.

И таких примеров можно привести немало. Поэтому для эффективного освоения методов решения показательных и логарифмических уравнений лучше всего воспользоваться услугами опытного преподавателя, который сумеет рассказать о подобных «подводных камнях» на примерах решения соответствующих экзаменационных задач.

Регулярно тренируйтесь в решении задач

Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.
Вы можете:

  • заниматься самостоятельно и бесплатно, используя учебные материалы, включающие комплекс видеоуроков, пошаговых тренажеров и онлайн-тестов по каждой теме ЕГЭ;
  • воспользоваться более эффективным (с учетом особенностей восприятия учащихся) средством: пройти курс онлайн-занятий с преподавателем, на которых будут детально разбираться теория и способы решения задач ЕГЭ по математике.

Первый вебинар, посвященный рациональным уравнениям и неравенствам, состоялся 7 октября 2017 года. Запись вебинара будет доступна для просмотра в личном кабинете пользователю, оформившему подписку на весь
курс 9900₽ 3900₽, или тому, кто воспользовался возможностью купить один вебинар за 449₽

Здесь ключевые фразы, чтобы поисковые роботы лучше находили наши советы:
Как решать задание 13 в экзамене ЕГЭ, задачи на логарифмы, ким ЕГЭ 2017, подготовка к ЕГЭ профиль математика, Математика профиль, решение уравнений и логарифмов, решение задач на показательные уравнения ЕГЭ, вычисление свойств логарифмов, показательно-степенная функция, задачи по математике профильного уровня, применение свойств логарифмов, решение задач на корни, задачи ЕГЭ 2017 по показательным уравнениям, подготовка к егэ выпускникам 11 класса в 2018 году, поступающим в технический вуз.