О нас 
Array
(
    [0] => Наша методика
    [1] => /about/method/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Наша методика
Array
(
    [0] => Преимущества
    [1] => /about/advantage/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Преимущества
Array
(
    [0] => Наши преподаватели
    [1] => /about/teachers/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Наши преподаватели
Array
(
    [0] => Контакты
    [1] => /about/contacts/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Контакты
Блог
Материалы 
Array
(
    [0] => Как готовиться к ЕГЭ?
    [1] => /materials/exam-prepare/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Как готовиться к ЕГЭ?
Array
(
    [0] => Учебные материалы
    [1] => /materials/learning/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Учебные материалы
Array
(
    [0] => Образовательным организациям
    [1] => /materials/partners/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Образовательным организациям
Array
(
    [0] => Пользовательское соглашение
    [1] => /materials/agreement/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Пользовательское соглашение
Справочник 
Array
(
    [0] => Арифметика
    [1] => /arithmetic/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Арифметика
Array
(
    [0] => Алгебра
    [1] => /algebra/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Алгебра
Array
(
    [0] => Планиметрия
    [1] => /planimetry/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Планиметрия
Array
(
    [0] => Информатика
    [1] => /informatics/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Информатика
Array
(
    [0] => Русский язык
    [1] => /russian/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Русский язык
Контакты
Личный кабинет
8 800 551-50-78 (бесплатно)
БЕСПЛАТНАЯ ПОДГОТОВКА К ЕГЭ ПО ПРОФИЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ
Подготовься к ЕГЭ-2026 по профильной математике самостоятельно с помощью сервиса "1С:Репетитор"!
Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Вы успеете подготовиться к экзамену! Начните занятия прямо сейчас!
design_arrow
8 800 551-50-78
Личный кабинет
1С:Репетитор – подготовка к ЕГЭ по математике
© ООО «1С-Софт» | ЧОУ ДПО «1С-ОБРАЗОВАНИЕ» | 2016–2025
8 800 551-50-78
Связаться с нами:
Мы в мессенджерах:
Мы в соцсетях:
Асимптота

Асимптота

Асимптоты – один из фундаментальных элементов математического анализа, который встречается в разделе алгебры, непосредственно связан с графическим представлением функций и их предельным поведением. В рамках подготовки к ЕГЭ знание алгоритмов поиска асимптот и умение применять их для исследования свойств функций часто становится ключом к успешному решению заданий с параметрами, исследованию рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических выражений.

1. Теоретические основы: определение асимптоты и классификация 

Асимптота – это прямая, к которой неограниченно приближается график функции при стремлении переменной к бесконечности или к определённому значению.

Основные виды асимптот:

Основные виды асимптот

2. Правила поиска асимптот (алгоритмы) 

2.1. Правило нахождения горизонтальных асимптот

  1. Рассмотреть предел функции при x→∞x и x→−∞;

  2. Если предел конечен, то у функции есть горизонтальная асимптота y=b.

2.2. Правило нахождения вертикальных асимптот

  1. Найти значения x=a, при которых функция не определена (обычно знаменатель обращается в ноль).

  2. Проверить существование односторонних пределов функции в этих точках.

  3. Если хотя бы один предел равен бесконечности, то x=a – вертикальная асимптота. 

2.3. Правило нахождения наклонных (косых) асимптот

Правило нахождения наклонных (косых) асимптот

Алгебра–схема написания асимптот

3. Связь темы с ЕГЭ

Тема асимптот тесно связана с заданиями второй части (особенно с графическим анализом и исследованием функций). В рамках ЕГЭ задания с рациональными и иррациональными функциями, а также анализ пределов, требуют знания правил поиска и интерпретации асимптот. Часто асимптоты помогают при анализе поведения функции, построении эскиза графика, исследовании области определения. 

4. Типовые ошибки при работе с асимптотами

  • Ошибка в вычислении пределов (особенно односторонних).

  • Игнорирование «разрыва устранимого» – не всякая точка разрыва даёт асимптоту.

  • Ошибочное применение алгоритма поиска наклонной асимптоты для функций, где её нет (например, когда степень числителя меньше степени знаменателя).

  • Неучет случаев, когда асимптота может быть как горизонтальной, так и наклонной (например, для функции формула 1 

5. Практические упражнения 

Упражнение 1

Задание: Найдите все асимптоты функции формула 2

Решение упражнения 1 

Упражнение 2

Задание: Найдите асимптоты функции формула 3 

Решение упражнения 2

Упражнение 3

Задание: Исследуйте на наличие асимптот функцию формула 4

Решение упражнения 3

Упражнение 4

Задание: Для функции формула 5найти асимптоты

Решение упражнения 4

Упражнение 5

Задание: Найти асимптоты функции формула 6 

Решение упражнения 5 

6. Итоги и советы по подготовке к ЕГЭ

  • Внимательно анализируйте область определения функции – именно точки разрыва часто являются кандидатами в вертикальные асимптоты.

  • При работе с рациональными функциями всегда сравнивайте степени числителя и знаменателя для определения типа асимптоты.

  • Не забывайте про односторонние пределы при исследовании вертикальных асимптот.

  • Тренируйтесь не только на стандартных дробях, но и на функциях с логарифмами, корнями, экспонентами – такие задания нередко встречаются на экзамене.

  • Грамотно оформляйте решение: выписывайте все пределы, делайте промежуточные выводы.


< Назад к списку