Десятичные логарифмы в математике

1. Что такое логарифм числа:
   • его ограничения,
   • основные характеристики.
2. Свойства.
3. Как производить действия с десятичным логарифмом.

Что такое логарифм числа

Логарифмом от числа b по основанию а является степень с, в которую необходимо возвести число а, чтобы получить число b. Иными словами: было число а, его возвели в степень с и получили число b. Функция логарифма помогает произвести обратное действие и найти, чему была равна степень с.

Сама функция в примерах обозначается как

Если перезаписать другими математическими символами, то получим следующее выражение:

Ограничения

Теперь рассмотрим ограничения логарифма, как базовой функции:

1. a > 0. Основание всегда должно быть положительным числом, чтобы функция имела значения и существовала. Это требование обязательно.
2. a ≠ 1 Основание не равно единице, так как  единица в любой степени остается единицей.
3. b > 0. Данное условие вытекает из самой сути функции. Так как мы не можем подобрать степень такую, возведя в которую число, мы получили бы нуль в итоге.

Во многих задачах необходимо будет знать данные требования, чтобы правильно находить решения уравнений и неравенств. Тем не менее сразу два первых пункта ограничений отпадают у десятичного логарифма, так как в основании будет всегда число десять, которое никогда не равно 0 и, соответственно, всегда больше его.

Так как данная функция по своему смыслу будет являться степенью числа, то вам необходимо знать таблицу степеней числа 10. Причём как в натуральных числах (0, 1 и так далее), так и дробных (1/2, 1/3, 0,4 и тому подобное). Иначе придётся прибегать постоянно к помощи калькулятора, которым зачастую не разрешено пользоваться.

Характеристики десятичного логарифма

Область определений (D_х) и область значений (D_y) — это не одно и то же! Поэтому рассмотрим для начала их:

1. . Будет зависеть от числа, от которого берут логарифм (не по которому).
2. . Будет зависеть от степени, но степенью может быть как число, так и функции, у которых могут быть свои ограничения.
3. Монотонность: возрастает без разрывов. Линия в виде дуги, находящаяся в первой и четвертой четвертях координатной сетки.
4. Нули (у = 0) : х = 1.
5. Точки пересечения с осями координат: только с осью ОХ. И причём х (или же b) никогда не будут равны нулю.
6. Откуда график начинается: . Выходит из четвёртой четверти, проходя параллельно оси OY, и идёт вверх и направо по дуге.
7. Куда стремится: . Идёт в вправо выше оси ОХ, причём напоминая график функции .

Свойства логарифма

Рассмотрим пункты, которые помогут вам при решении примеров с данной функцией. Многие из них полностью подходят ко всем логарифмам, а некоторые — только к десятичным.

Формулы замены оснований помогут вам в преобразованиях больших примеров, где расположены довольно большие дроби.

Также рассмотрим некоторые частные значения, которые могут помочь вам в будущем:

Как видно, знание степеней числа 10 имеет большое значение при решении примеров.

Примеры

Разберём задания, в которых необходимо применять все изученные сегодня правила и свойства. С помощью преобразований решите и найдите числовые значения:

Решение: