Действительные числа

Понимание природы действительных чисел – основа всей школьной алгебры, ведь именно на их свойствах строится теория функций, уравнений, неравенств и почти всех задач профильного ЕГЭ. Без чёткого представления о том, какие бывают числа, нельзя грамотно решать ни задачи на вычисления, ни задания на анализ выражений, ни работу с графиками.

Теоретические основы: что такое действительные числа

Действительные числа – это все числа, которые можно изобразить на числовой прямой. Они включают в себя:

Свойства и правила работы с действительными числами

• Полнота: между любыми двумя различными действительными числами всегда найдётся третье, тоже действительное число.

• Плотность: в любом интервале найдётся бесконечно много как рациональных, так и иррациональных чисел.

• Однозначная запись на числовой прямой: каждому действительному числу соответствует своя точка, и наоборот.

• Арифметические действия: сумма, разность, произведение и частное (кроме деления на ноль) двух действительных чисел снова дают действительное число.

• Упорядоченность: для любых двух действительных чисел a и b либо a<b, либо a=b, либо a>b.

Основные правила и классификация действительных чисел

Типичные ошибки при работе с действительными числами

Практические упражнения с решениями

Упражнение 1
Задание: укажите, какие из чисел являются рациональными:

1. 0,4

2. √5

3. -2

4. ⁷/₈

5. π

Решение:

1. Рациональное (конечная десятичная дробь)

2. Иррациональное

3. Рациональное (целое)

4. Рациональное (дробь)

5. Иррациональное

Упражнение 2

Задание: между какими двумя целыми числами находится число √11?

Решение:

√9 = 3, √16 = 4, значит 3<√11<4.

Упражнение 3

Задание: запишите пример числа, которое является бесконечной периодической десятичной дробью, и объясните, рациональное оно или нет.

Решение:

0, 123 = 0,123123123 … - это рациональное число, так как оно его может записать как обыкновенную дробь.

Упражнение 4

Задание: вычислите сумму √2 + (2-√2). Является ли результат рациональным или иррациональным числом?

Решение:

√2 + 2 - √2 = 2. Это рациональное число.

Упражнение 5

Задание: поясните, почему число 0,101001000100001… (где количество нулей между единицами постоянно увеличивается на 1) являются иррациональными.

Решение: эта запись не содержит периода, дробь бесконечна и непериодична, поэтому число иррациональное.

Итоги и рекомендации для подготовки к ЕГЭ

• Всегда внимательно анализируйте вид числа: рациональное или иррациональное.

• Применяйте основные свойства при работе с неравенствами и уравнениями.

• Практикуйте задания на определение принадлежности числа множеству.

• Тренируйтесь распознавать иррациональные числа по их записи.

• Знайте, что каждое действительное число можно расположить на числовой прямой – это основа для решения сложных задач на сравнение и анализ.