Дробная степень числа

В этой статье вы узнаете:

1. Что такое дробная степень числа;

2. Связанные со степенями формулы и свойства;

3. Как возвести число в дробную степень;

4.  Примеры возведения числа в дробную степень.

Понятие о дробной степени

Возведение в дробную или рациональную степень числа называют записанное выражение в виде:

1.    a — число, которое возводят в степень.

2.    p и q — соответственно, числа в числителе и знаменателе рациональной степени, в которую возводят число «а». Причём:

2.1. Число «p» является любым целым числом как отрицательным, так и положительным.

2.2. Число «q» — любое натуральное число (1, 2, ….).

2.3. Вместо букв «p» и «q» могут встречаться и другие обозначения (например, m, n, k и т.д.).

Если перезаписать выражение, то получим:

Как видно из полученного выражения, число «а» возводят в степень «p», а затем извлекают из результата корень «q»-й степени. На практике это не так страшно, как звучит, главное не перепутать, что и куда из показателей «идёт», так как часто попадаются задания, где нужно упростить выражение с дробной степенью. Для решения таких задач так же потребуется вспомнить как ведут себя показатели степени при разных арифметических действиях над числами.

Свойства степени

1.     Перемножение чисел с одинаковыми основаниями, но разными степенями: степени складываются, а основание записывается один раз:

2.     Деление таких чисел: показатели вычитаются (от первого второе) и число «а» записывается один раз:

3.     Возведение числа со степенью в степень: степени перемножаются:

4.     Возведение произведения чисел в степень:

5.     Возведение дроби в степень:

6.     Извлечения корня:

7.     “Памятка” про сложение и вычитание чисел с одинаковым основанием, но разными степенями:

8.     «Памятка+» про возведение чисел в нулевую степень:

Последние два выражения раскладываются по формулам сокращённого умножения. Эти пункты помогут вам правильно выполнять преобразования и не путаться при вычислениях.

Возведения числа в степень

Данный вид арифметических действий почти то же самое, что и было описано выше, только вместо букв (что является записью в общем виде) используются числа, позволяющие дать не «обобщенный ответ», а точное значение.

Можем рассмотреть несколько свойств степеней с числами. Большие числа брать не будем, чтобы не затруднять усвоение темы.

1.     Перемножение чисел и возведение в степень:

2.     Деление чисел с возведением в степень:

3.     Возведение числа со степенью в степень:

4.     Произведение чисел в степень:

5.     Дробь в степень:

Примеры

В качестве примеров возьмём пару выражений с буквами, которые нужно упростить, и несколько примеров с числами.

1) Упростить выражение: 

Решение: 

2) Упростить выражение: 

Решение: 

3) Переписать выражение, применив свойства показателей степени: 

Решение: 

4) Упростить и вычислить следующие выражения:

Решение: 

В последнем примере более наглядно показано, что не всегда стоит сразу считать результат итоговый, так как потом может что-то удобно сократиться. Плюс ко всему такие темы помогают «видеть формулы» или выражения, которые можно преобразовать в то, что потом удобно сократить.