Формула Муавра

Формула Муавра – одно из центральных правил вычислительной алгебры комплексных чисел. Она позволяет возводить число в целую степень не путём многократного перемножения скобок, а посредством двух простых преобразований: модуль возводится в нужную степень, а аргумент умножается на показатель. Благодаря этому громоздкое алгебраическое действие превращается в короткую и логически прозрачную процедуру.

Пусть комплексное число записано в тригонометрической форме z = r(cos φ + i sin φ), где r = |z| – его модуль, φ – аргумент, а i – мнимая единица, удовлетворяющая равенству i² = −1. Тогда для любого целого показателя n выполняется формула zⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ). Если r = 1, получают распространённый частный случай: (cos φ + i sin φ)ⁿ = cos nφ + i sin nφ.

Например, число z = 2(cos 30° + i sin 30°) требуется возвести в третью степень. По формуле модуль становится 2³ = 8, а аргумент – 3 · 30° = 90°. Следовательно, z³ = 8(cos 90° + i sin 90°) = 8i. Обычное раскрытие трёх скобок привело бы к тому же ответу, но потребовало бы значительно больше промежуточных действий.

Почему формула важна

В комплексной плоскости умножение чисел означает одновременное умножение их модулей и сложение аргументов. При возведении одного и того же числа в степень модуль умножается сам на себя n раз, поэтому превращается в rⁿ, а одинаковый угол φ складывается n раз, поэтому становится nφ. Формула Муавра выражает именно эту закономерность в компактном виде.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Перед применением формулы число необходимо представить в виде z = r(cos φ + i sin φ). Если исходно дано z = a + bi, модуль вычисляют по формуле r = √(a² + b²). Аргумент определяют по положению точки (a; b) на комплексной плоскости. Отношение tan φ = b/a помогает найти опорный угол, однако окончательный выбор угла обязательно должен учитывать четверть.

Например, для z = 1 + i модуль равен √2, а точка лежит в первой четверти, поэтому φ = 45°. Получаем z = √2(cos 45° + i sin 45°). Для числа −1 + i модуль также равен √2, но точка находится во второй четверти, следовательно, аргумент равен 135°, а не −45°. Ошибка в выборе четверти затем умножается вместе с углом и приводит к неверной степени.

Формулировка для целого показателя

Для положительного целого n формула имеет вид [r(cos φ + i sin φ)]ⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ). При n = 0 любое ненулевое комплексное число даёт z⁰ = 1. Правая часть согласуется с этим правилом: r⁰ = 1, cos 0 = 1, sin 0 = 0. Для отрицательного n сначала используют zⁿ = 1/z⁻ⁿ, либо непосредственно получают rⁿ(cos nφ + i sin nφ), понимая rⁿ как 1/r⁻ⁿ.

Аргумент комплексного числа определяется не единственным образом: к нему можно прибавлять 360°k или 2πk, где k – целое число. При вычислении степени допустимо выбрать любой сонаправленный аргумент. Результаты будут совпадать, поскольку cos и sin имеют период 360° или 2π. На практике обычно используют главный либо наиболее удобный аргумент.

Градусы и радианы

Формулу можно применять как в градусной, так и в радианной мере. Важно лишь не смешивать системы внутри одного вычисления. Запись 60° соответствует π/3, 90° – π/2, 120° – 2π/3, 180° – π. Если исходный аргумент дан в радианах, произведение nφ также оставляют в радианах и при необходимости сокращают по модулю 2π.

Сокращение угла после умножения не является обязательным, но облегчает вычисление тригонометрических значений. Например, cos 750° и sin 750° совпадают с cos 30° и sin 30°, поскольку 750° − 720° = 30°. Следовательно, большой угол можно заменить сонаправленным углом в пределах одного полного оборота.

Геометрический смысл

Если число z изображает точку на расстоянии r от начала координат и под углом φ к положительному направлению действительной оси, то zⁿ находится на расстоянии rⁿ и под углом nφ. При r > 1 точки удаляются от начала координат, при 0 < r < 1 приближаются к нему, а при r = 1 остаются на единичной окружности, последовательно поворачиваясь на угол φ.

Обоснование формулы Муавра

Формулу удобно доказать методом математической индукции. При n = 1 утверждение очевидно. Предположим, что для некоторого натурального n выполняется (cos φ + i sin φ)ⁿ = cos nφ + i sin nφ. Умножим обе части на cos φ + i sin φ. После раскрытия скобок действительная часть равна cos nφ cos φ − sin nφ sin φ, а мнимая – sin nφ cos φ + cos nφ sin φ.

По формулам сложения эти выражения равны соответственно cos((n + 1)φ) и sin((n + 1)φ). Значит, (cos φ + i sin φ)ⁿ⁺¹ = cos((n + 1)φ) + i sin((n + 1)φ). Индукционный переход доказан. Множитель r добавляется отдельно: (r(cos φ + i sin φ))ⁿ = rⁿ(cos φ + i sin φ)ⁿ.

Для отрицательных показателей используется обратное число. Если z = r(cos φ + i sin φ), то 1/z = (1/r)(cos(−φ) + i sin(−φ)). Возведение обратного числа в положительную степень приводит к r⁻ⁿ(cos(−nφ) + i sin(−nφ)), что совпадает с общей записью для отрицательного n.

Таблица 1. Основные элементы формулы Муавра

Переход из алгебраической формы

Если дано число a + bi, сначала вычисляют r и φ, затем применяют формулу. После получения rⁿ(cos nφ + i sin nφ) ответ можно оставить в тригонометрической форме либо раскрыть: aₙ = rⁿ cos nφ, bₙ = rⁿ sin nφ. Последний шаг особенно важен, когда в условии требуется представить результат как A + Bi.

Пример. Возведём z = −1 + i√3 в четвёртую степень. Модуль r = 2, аргумент φ = 120°. Тогда z⁴ = 2⁴(cos 480° + i sin 480°) = 16(cos 120° + i sin 120°) = −8 + 8√3 i.

Основные случаи применения

Первый тип задач – непосредственное возведение в степень, когда число уже записано в тригонометрической форме. Здесь важно не раскрывать скобки, а отдельно вычислить rⁿ и nφ. Второй тип начинается с алгебраической формы a + bi и требует предварительного нахождения модуля и аргумента. Третий тип связан с упрощением выражений на единичной окружности, где r = 1.

Формула используется и для получения тригонометрических тождеств. Раскрывая левую часть (cos φ + i sin φ)ⁿ по биному Ньютона и сравнивая действительные и мнимые части с cos nφ + i sin nφ, можно вывести выражения для cos nφ и sin nφ через степени cos φ и sin φ. Например, при n = 3 получают cos 3φ = cos³φ − 3cos φ sin²φ и sin 3φ = 3cos²φ sin φ − sin³φ.

Таблица 2. Типовые задачи и способы решения

Алгоритм применения формулы Муавра

• Определить, в какой форме записано комплексное число: алгебраической или тригонометрической.
• Если дано a + bi, вычислить модуль r = √(a² + b²) и установить аргумент φ с учётом четверти.
• Записать число как z = r(cos φ + i sin φ), не смешивая градусы и радианы.
• Возвести модуль в степень: r → rⁿ.
• Умножить аргумент на показатель: φ → nφ.
• При необходимости привести угол nφ к промежутку одного полного оборота.
• Записать zⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ).
• Если требуется алгебраическая форма, вычислить действительную и мнимую части.
• Проверить результат по модулю: |zⁿ| должен равняться |z|ⁿ.
• Оценить направление результата на комплексной плоскости и убедиться, что выбранная четверть согласуется со знаками частей.

Правильные действия и характерные ошибки

Таблица 3. Проверка отдельных шагов

Как проверить вычисление

Первая проверка основана на модуле. Если исходное число имеет модуль r, то результат должен иметь модуль rⁿ. Например, при |z| = 2 и n = 5 модуль ответа обязан равняться 32. Если в алгебраической форме получено A + Bi, следует проверить √(A² + B²) = 32.

Вторая проверка связана с аргументом. Направление zⁿ должно соответствовать углу nφ с точностью до полного оборота. Если вычисленный угол лежит, например, во второй четверти, действительная часть результата должна быть отрицательной, а мнимая – положительной. Несовпадение знаков указывает на ошибку при сокращении угла или вычислении тригонометрических значений.

Третья проверка возможна для небольших степеней: число можно дополнительно возвести в квадрат или куб алгебраическим способом. Такая проверка особенно полезна при первом знакомстве с темой. Она подтверждает, что формула Муавра не вводит новое определение степени, а лишь предоставляет более эффективный способ вычисления.

Связь с последовательными поворотами

Если r = 1, последовательность z, z², z³, … располагается на единичной окружности. Каждый следующий член получается поворотом предыдущего на один и тот же угол φ. При рациональном отношении φ к полному обороту последовательность через некоторое число шагов повторяется. Например, для φ = 60° шестая степень снова равна 1.

Если аргумент равен 2π/m, число является корнем m-й степени из единицы. Формула сразу показывает zᵐ = cos 2π + i sin 2π = 1. Эта идея связывает формулу Муавра с правильными многоугольниками, циклическими закономерностями и разложением многочлена xᵐ − 1.

Мини-шпаргалка по теме

• Основная запись: [r(cos φ + i sin φ)]ⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ).
• Модуль возводится в степень, а аргумент умножается на показатель.
• Для числа на единичной окружности r = 1, поэтому меняется только аргумент.
• При n = 0 и z ≠ 0 получается z⁰ = 1.
• При отрицательном n модуль становится rⁿ = 1/r⁻ⁿ, а угол меняет направление.
• Сонаправленные углы отличаются на 360°k или 2πk и задают одно и то же число.
• Для перехода к A + Bi вычисляют A = rⁿ cos nφ и B = rⁿ sin nφ.
• Четверть исходного числа определяют по знакам действительной и мнимой частей.
• Градусы нельзя смешивать с радианами в одном вычислении.
• Главная проверка: |zⁿ| = |z|ⁿ и arg(zⁿ) = n·arg z с точностью до полного оборота.

Типичные ошибки и способы их предупреждения

Ошибка 1. Модуль умножают на показатель вместо возведения в степень. Для r = 3 и n = 4 нужно получить 3⁴ = 81, а не 3 · 4 = 12. Полезно проговаривать два независимых действия: «модуль – в степень, аргумент – умножить».

Ошибка 2. Аргумент складывают с показателем. Запись φ + n не имеет геометрического смысла. При повторном умножении одинаковый угол складывается сам с собой n раз, поэтому результатом является nφ.

Ошибка 3. Неверно определяется четверть. Значение тангенса не различает углы, отличающиеся на 180°. Поэтому после нахождения опорного угла необходимо проверить знаки a и b и выбрать направление точки a + bi на комплексной плоскости.

Ошибка 4. Теряется мнимая единица. В выражении cos nφ + i sin nφ множитель i относится ко всей мнимой части. Без него результат превращается в обычную сумму действительных чисел.

Ошибка 5. Смешиваются градусы и радианы. Например, произведение 3 · π/4 равно 3π/4, а не 135 без обозначения градусов. Единица угловой меры должна оставаться единой от начала до конца решения.

Ошибка 6. Большой угол сокращают не на полный оборот. В градусах разрешено прибавлять или вычитать только 360°k, в радианах – 2πk. Вычитание 180° или π обычно меняет знак комплексного числа.

Практические рекомендации

При нахождении аргумента полезно сделать небольшой эскиз координатной плоскости и отметить точку (a; b). Такой рисунок занимает несколько секунд, но предотвращает наиболее распространённую ошибку со второй, третьей и четвёртой четвертями. Для точных углов удобно пользоваться таблицей значений sin и cos.

В вычислениях с большим показателем сначала сократите произведение nφ по модулю полного оборота, а уже затем находите косинус и синус. Например, 17 · 60° = 1020°, но 1020° − 720° = 300°. Значения для 300° определить значительно проще, чем работать с исходным углом.

Сорок практических упражнений

Задания расположены от воспроизведения формулы и простых степеней к переходу между формами, отрицательным показателям и элементарным тригонометрическим следствиям. После каждого упражнения приведено решение.

Упражнение 1. Запишите формулу Муавра для числа z = r(cos φ + i sin φ).
Решение. zⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ), где n – целое число, а при n < 0 требуется z ≠ 0.

Упражнение 2. Возведите в квадрат z = 2(cos 30° + i sin 30°).
Решение. z² = 4(cos 60° + i sin 60°) = 2 + 2√3 i.

Упражнение 3. Найдите [cos 45° + i sin 45°]².
Решение. По формуле получаем cos 90° + i sin 90° = i.

Упражнение 4. Возведите в третью степень z = 3(cos 20° + i sin 20°).
Решение. z³ = 27(cos 60° + i sin 60°) = 27/2 + 27√3 i/2.

Упражнение 5. Найдите [cos 60° + i sin 60°]⁶.
Решение. Аргумент равен 360°, поэтому результат cos 360° + i sin 360° = 1.

Упражнение 6. Вычислите [2(cos 90° + i sin 90°)]⁴.
Решение. Модуль: 2⁴ = 16; угол: 4 · 90° = 360°. Ответ: 16.

Упражнение 7. Возведите в пятую степень число z = cos 30° + i sin 30°.
Решение. z⁵ = cos 150° + i sin 150° = −√3/2 + i/2.

Упражнение 8. Найдите квадрат числа z = −1 + i.
Решение. z = √2(cos 135° + i sin 135°). Тогда z² = 2(cos 270° + i sin 270°) = −2i.

Упражнение 9. Вычислите (1 + i)⁴ с помощью формулы Муавра.
Решение. 1 + i = √2(cos 45° + i sin 45°). Четвёртая степень равна 4(cos 180° + i sin 180°) = −4.

Упражнение 10. Найдите (√3 + i)³.
Решение. Модуль равен 2, аргумент 30°. Получаем 8(cos 90° + i sin 90°) = 8i.

Упражнение 11. Вычислите (−1 + i√3)³.
Решение. Число имеет модуль 2 и аргумент 120°. Куб равен 8(cos 360° + i sin 360°) = 8.

Упражнение 12. Найдите (−√3 − i)².
Решение. Модуль равен 2, аргумент можно взять 210°. Квадрат: 4(cos 420° + i sin 420°) = 2 + 2√3 i.

Упражнение 13. Возведите число z = 4(cos π/6 + i sin π/6) во вторую степень.
Решение. z² = 16(cos π/3 + i sin π/3) = 8 + 8√3 i.

Упражнение 14. Найдите [cos π/4 + i sin π/4]⁸.
Решение. Угол равен 8 · π/4 = 2π. Ответ: 1.

Упражнение 15. Вычислите [3(cos 2π/3 + i sin 2π/3)]³.
Решение. Модуль равен 27, угол – 2π. Ответ: 27.

Упражнение 16. Найдите [2(cos 5π/6 + i sin 5π/6)]².
Решение. Получаем 4(cos 5π/3 + i sin 5π/3) = 2 − 2√3 i.

Упражнение 17. Вычислите (−i)⁷.
Решение. −i = cos(−π/2) + i sin(−π/2). Тогда (−i)⁷ имеет угол −7π/2, сонаправленный с π/2. Ответ: i.

Упражнение 18. Найдите i¹⁰.
Решение. i = cos π/2 + i sin π/2. Угол 5π сонаправлен с π, поэтому i¹⁰ = −1.

Упражнение 19. Вычислите (1 − i)⁶.
Решение. 1 − i = √2(cos(−45°) + i sin(−45°)). Шестая степень: 8(cos(−270°) + i sin(−270°)) = 8i.

Упражнение 20. Найдите (−1 − i)⁵.
Решение. Модуль √2, аргумент 225°. Получаем 4√2(cos 1125° + i sin 1125°) = 4 − 4i.

Упражнение 21. Вычислите z⁰ для z = 5(cos 17° + i sin 17°).
Решение. Так как z ≠ 0, z⁰ = 1.

Упражнение 22. Найдите [2(cos 30° + i sin 30°)]⁻².
Решение. Модуль равен 2⁻² = 1/4, угол −60°. Ответ: 1/4(cos(−60°) + i sin(−60°)) = 1/8 − √3 i/8.

Упражнение 23. Вычислите (1 + i)⁻².
Решение. (1 + i)² = 2i, поэтому обратное число равно 1/(2i) = −i/2. По Муавру получается тот же результат.

Упражнение 24. Найдите [cos 120° + i sin 120°]⁻³.
Решение. Модуль остаётся 1, угол равен −360°. Ответ: 1.

Упражнение 25. Определите модуль числа z⁷, если |z| = 3.
Решение. По свойству формулы |z⁷| = |z|⁷ = 3⁷ = 2187.

Упражнение 26. Определите аргумент z⁵, если один из аргументов z равен 40°.
Решение. Один из аргументов z⁵ равен 200°. К нему можно прибавлять 360°k.

Упражнение 27. Для z = 2(cos φ + i sin φ) запишите z⁴.
Решение. z⁴ = 16(cos 4φ + i sin 4φ).

Упражнение 28. Упростите (cos φ + i sin φ)³.
Решение. По формуле выражение равно cos 3φ + i sin 3φ.

Упражнение 29. Сравнив действительные части при n = 2, выведите формулу cos 2φ.
Решение. (cos φ + i sin φ)² = cos²φ − sin²φ + 2i sin φ cos φ. Поэтому cos 2φ = cos²φ − sin²φ.

Упражнение 30. Сравнив мнимые части при n = 2, выведите формулу sin 2φ.
Решение. Мнимая часть квадрата равна 2 sin φ cos φ, следовательно, sin 2φ = 2 sin φ cos φ.

Упражнение 31. Выведите выражение для cos 3φ через cos φ и sin φ.
Решение. Действительная часть куба равна cos³φ − 3cos φ sin²φ. Значит, cos 3φ = cos³φ − 3cos φ sin²φ.

Упражнение 32. Выведите выражение для sin 3φ.
Решение. Мнимая часть куба равна 3cos²φ sin φ − sin³φ. Поэтому sin 3φ = 3cos²φ sin φ − sin³φ.

Упражнение 33. Найдите значение (cos 24° + i sin 24°)¹⁵.
Решение. Угол равен 360°. Следовательно, значение выражения равно 1.

Упражнение 34. Найдите (cos 18° + i sin 18°)¹⁰.
Решение. Угол равен 180°, поэтому результат равен −1.

Упражнение 35. Вычислите [2(cos 15° + i sin 15°)]¹².
Решение. Модуль равен 2¹² = 4096, угол – 180°. Ответ: −4096.

Упражнение 36. При каком наименьшем натуральном n число [cos 72° + i sin 72°]ⁿ станет равным 1?
Решение. Требуется n · 72° = 360°. Наименьшее n = 5.

Упражнение 37. При каком наименьшем натуральном n число [cos 45° + i sin 45°]ⁿ станет действительным положительным?
Решение. Нужен угол, кратный 360°. Наименьшее n = 8.

Упражнение 38. При каком наименьшем натуральном n число [cos 30° + i sin 30°]ⁿ станет действительным отрицательным?
Решение. Нужен угол 180° по модулю 360°. Уравнение n · 30° = 180° даёт n = 6.

Упражнение 39. Проверьте формулой Муавра равенство (√3 + i)⁶ = −64.
Решение. Модуль числа равен 2, аргумент 30°. Шестая степень имеет модуль 64 и аргумент 180°, поэтому равна −64.

Упражнение 40. Составьте собственный пример комплексного числа, третья степень которого является положительным действительным числом.
Решение. Например, z = 2(cos 120° + i sin 120°). Тогда z³ = 8(cos 360° + i sin 360°) = 8.

Контрольные вопросы для самопроверки

• Как изменяются модуль и аргумент при возведении комплексного числа в степень?
• Почему при определении аргумента недостаточно вычислить только тангенс угла?
• Как применять формулу при нулевом и отрицательном показателе?
• Каким образом большой угол заменяется сонаправленным?
• Как проверить результат по модулю и по знакам действительной и мнимой частей?
• Какие тригонометрические формулы можно получить из частных случаев формулы Муавра?

Заключение

Формула Муавра выражает геометрический смысл степени комплексного числа: модуль возводится в степень, а аргумент умножается на показатель. Точное определение четверти, единая угловая мера и проверка по модулю обеспечивают правильность вычислений и подготавливают к изучению корней комплексных чисел.