Формулы понижения степени

Формулы понижения степени заменяют квадрат или более высокую степень тригонометрической функции выражением, в котором степени становятся меньше, а аргумент обычно увеличивается в два раза. Основные равенства имеют вид: sin² x = (1 − cos 2x)/2 и cos² x = (1 + cos 2x)/2.

Такая замена полезна потому, что выражения первой степени легче складывать, сравнивать, интегрировать и использовать в уравнениях. Вместо произведения одинаковых множителей возникает сумма постоянного числа и косинуса удвоенного угла. При этом равенство остаётся верным при любом действительном x.

Главная идея темы состоит не в механическом запоминании двух дробей, а в понимании их происхождения. Обе формулы следуют из основного тригонометрического тождества и формулы косинуса двойного угла. Понимание вывода помогает восстановить знак, коэффициент и удвоенный аргумент даже без готовой шпаргалки.

Из каких тождеств получают формулы

Исходными равенствами служат sin² x + cos² x = 1 и cos 2x = cos² x − sin² x. Если сложить их левые и правые части, получится 2cos² x = 1 + cos 2x. Деление на два даёт формулу для квадрата косинуса.

Если из первого тождества вычесть формулу косинуса двойного угла, получится 2sin² x = 1 − cos 2x. После деления на два возникает формула для квадрата синуса. Поэтому знаки легко запомнить: у cos² x перед cos 2x стоит плюс, а у sin² x — минус.

Таблица 1. Вывод основных формул понижения степени

Почему аргумент удваивается

Удвоенный аргумент появляется не случайно: исходная формула cos 2x связывает разность квадратов синуса и косинуса с функцией первой степени. Поэтому при понижении квадрата до первой степени цена преобразования состоит в замене x на 2x.

Например, sin² 15° = (1 − cos 30°)/2. Степень синуса исчезла, зато угол в косинусе стал в два раза больше. Именно такой обмен лежит в основе всех дальнейших преобразований.

Основные формулы и их чтение

Формулу sin² x = (1 − cos 2x)/2 читают так: квадрат синуса равен половине разности единицы и косинуса удвоенного аргумента. Формулу cos² x = (1 + cos 2x)/2 читают аналогично, но вместо разности используется сумма.

Обе правые части неотрицательны. Это согласуется с тем, что квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Так как −1 ≤ cos 2x ≤ 1, выражения 1 − cos 2x и 1 + cos 2x лежат между нулём и двумя, а после деления на два — между нулём и единицей.

Таблица 2. Сравнение двух основных формул

Быстрая проверка при x = 0

Подстановка нуля позволяет мгновенно обнаружить перепутанный знак. Для синуса левая часть равна нулю, значит справа должна получиться дробь (1 − 1)/2. Для косинуса левая часть равна единице, поэтому справа требуется (1 + 1)/2.

Связь с произведением синуса и косинуса

Формула sin x·cos x = (1/2)sin 2x тоже уменьшает суммарную степень произведения. Она следует из равенства sin 2x = 2sin x cos x. Хотя её часто называют формулой двойного угла, по назначению она близка к формулам понижения степени.

Понижение четвёртой степени

Чтобы преобразовать sin⁴ x или cos⁴ x, формулу применяют последовательно. Сначала четвёртую степень представляют как квадрат выражения sin² x или cos² x. Затем подставляют формулу понижения, раскрывают квадрат и ещё раз понижают степень у cos² 2x.

В результате получаются равенства sin⁴ x = (3 − 4cos 2x + cos 4x)/8 и cos⁴ x = (3 + 4cos 2x + cos 4x)/8. Вторая гармоника cos 4x возникает потому, что при повторном применении формулы аргумент 2x снова удваивается.

Таблица 3. Формулы для четвёртых степеней и произведений

Алгоритм понижения степени

• Определить, какая степень присутствует и является ли она чётной.
• Для sin² x или cos² x сразу применить основную формулу.
• При четвёртой степени представить выражение как квадрат функции второй степени.
• Аккуратно раскрыть скобки и привести числовые коэффициенты.
• Если вновь появился квадрат тригонометрической функции, применить формулу повторно.
• Собрать постоянные слагаемые и функции одинаковых аргументов.
• Проверить ответ подстановкой удобного значения, например x = 0 или x = π/2.

Применение к упрощению и вычислению

Формулы понижения степени позволяют преобразовать суммы квадратов с коэффициентами. Например, 3sin² x + cos² x после подстановки превращается в 3(1 − cos 2x)/2 + (1 + cos 2x)/2 = 2 − cos 2x. Исходное выражение с двумя квадратами становится линейным выражением одного косинуса.

При вычислении точных значений удобно выбирать тот вариант, который приводит к известному удвоенному углу. Так, sin² 15° = (1 − cos 30°)/2 = (2 − √3)/4, а cos² 15° = (1 + cos 30°)/2 = (2 + √3)/4.

Таблица 4. Типовые преобразования и результаты

Использование при интегрировании

Интегралы от sin² x и cos² x нельзя свести к стандартной первообразной простым уменьшением показателя. После понижения степени они превращаются в сумму постоянного слагаемого и косинуса: ∫sin²x dx = x/2 − sin 2x/4 + C, а ∫cos²x dx = x/2 + sin 2x/4 + C.

Для четвёртых степеней действует тот же принцип: сначала получают линейную комбинацию 1, cos 2x и cos 4x, затем интегрируют каждое слагаемое отдельно. Поэтому формула служит не только средством упрощения, но и важным вычислительным инструментом.

Мини-шпаргалка по теме

• sin² x = (1 − cos 2x)/2: у квадрата синуса перед косинусом стоит минус.
• cos² x = (1 + cos 2x)/2: у квадрата косинуса перед косинусом стоит плюс.
• В обеих формулах постоянная часть равна 1/2, а аргумент косинуса удваивается.
• sin x·cos x = (1/2)sin 2x уменьшает суммарную степень произведения.
• Для четвёртой степени формулу применяют дважды: сначала к исходной функции, затем к появившемуся квадрату.
• sin⁴ x = (3 − 4cos 2x + cos 4x)/8; cos⁴ x = (3 + 4cos 2x + cos 4x)/8.
• sin² x cos² x = (1 − cos 4x)/8.
• Надёжная проверка знаков — подстановка x = 0.

Типичные ошибки и способы их предупреждения

Ошибка 1. Аргумент оставляют прежним и пишут sin² x = (1 − cos x)/2. Такое равенство неверно: после понижения появляется именно cos 2x. Нужно каждый раз отмечать удвоение аргумента.

Ошибка 2. Путают знаки в формулах синуса и косинуса. Проверка при x = 0 сразу показывает ошибку: квадрат синуса должен обратиться в ноль, а квадрат косинуса — в единицу.

Ошибка 3. Делят на два только одно слагаемое. Черта дроби относится ко всему числителю: (1 − cos 2x)/2 = 1/2 − (1/2)cos 2x.

Ошибка 4. При понижении четвёртой степени останавливаются после первого шага, оставляя cos² 2x. Если требуется полностью убрать квадраты, формулу нужно применить повторно уже к аргументу 2x.

Ошибка 5. Неверно возводят дробь в квадрат: [(1 − cos 2x)/2]² имеет знаменатель 4, а не 2. После раскрытия скобок необходимо отдельно понизить cos² 2x.

Образцы краткого решения

Образец 1. Преобразовать sin² 3x. Заменяем x на 3x в основной формуле: sin² 3x = (1 − cos 6x)/2. Удваивается весь аргумент, а не только числовой коэффициент перед функцией.

Образец 2. Упростить 2cos² x − 1. Подставляем cos² x = (1 + cos 2x)/2: 2·(1 + cos 2x)/2 − 1 = cos 2x.

Образец 3. Вычислить sin² 75°. Получаем (1 − cos 150°)/2 = [1 − (−√3/2)]/2 = (2 + √3)/4.

Образец 4. Преобразовать sin² x cos² x. Используем sin x cos x = (1/2)sin 2x: sin²x cos²x = (1/4)sin²2x = (1/4)·(1 − cos 4x)/2 = (1 − cos 4x)/8.

Сорок пять практических упражнений

Задания расположены от воспроизведения основных равенств к многошаговым преобразованиям, вычислениям, доказательствам и простейшим интегралам. После каждого упражнения приведено решение для самостоятельной проверки.

Упражнение 1. Запишите формулу понижения степени для sin² x.
Решение. sin² x = (1 − cos 2x)/2.

Упражнение 2. Запишите формулу понижения степени для cos² x.
Решение. cos² x = (1 + cos 2x)/2.

Упражнение 3. Какой аргумент появляется после понижения квадрата?
Решение. Удвоенный аргумент 2x.

Упражнение 4. Какой знак стоит перед cos 2x в формуле для sin² x?
Решение. Знак минус.

Упражнение 5. Какой знак стоит перед cos 2x в формуле для cos² x?
Решение. Знак плюс.

Упражнение 6. Проверьте формулу для sin² x при x = 0.
Решение. Слева 0; справа (1−cos0)/2=0. Равенство выполнено.

Упражнение 7. Проверьте формулу для cos² x при x = 0.
Решение. Слева 1; справа (1+cos0)/2=1.

Упражнение 8. Понизьте степень в sin² 2x.
Решение. sin²2x = (1−cos4x)/2.

Упражнение 9. Понизьте степень в cos² 5x.
Решение. cos²5x = (1+cos10x)/2.

Упражнение 10. Преобразуйте sin²(x/2).
Решение. sin²(x/2) = (1−cos x)/2.

Упражнение 11. Преобразуйте cos²(x/2).
Решение. cos²(x/2) = (1+cos x)/2.

Упражнение 12. Упростите 1−2sin²x.
Решение. cos 2x.

Упражнение 13. Упростите 2cos²x−1.
Решение. cos 2x.

Упражнение 14. Упростите 2sin²x−1.
Решение. −cos 2x.

Упражнение 15. Преобразуйте sin x cos x.
Решение. sin x cos x = (1/2)sin 2x.

Упражнение 16. Преобразуйте 4sin x cos x.
Решение. 2sin 2x.

Упражнение 17. Вычислите sin²30°.
Решение. (1−cos60°)/2=(1−1/2)/2=1/4.

Упражнение 18. Вычислите cos²30°.
Решение. (1+cos60°)/2=3/4.

Упражнение 19. Вычислите sin²45°.
Решение. (1−cos90°)/2=1/2.

Упражнение 20. Вычислите cos²45°.
Решение. 1/2.

Упражнение 21. Вычислите sin²15°.
Решение. (2−√3)/4.

Упражнение 22. Вычислите cos²15°.
Решение. (2+√3)/4.

Упражнение 23. Вычислите sin²75°.
Решение. (1−cos150°)/2=(2+√3)/4.

Упражнение 24. Вычислите cos²75°.
Решение. (2−√3)/4.

Упражнение 25. Упростите sin²x+cos²x с помощью формул понижения.
Решение. Сумма правых частей равна [(1−cos2x)+(1+cos2x)]/2=1.

Упражнение 26. Упростите cos²x−sin²x.
Решение. cos 2x.

Упражнение 27. Упростите sin²x−cos²x.
Решение. −cos 2x.

Упражнение 28. Преобразуйте 3sin²x+cos²x.
Решение. 3(1−cos2x)/2+(1+cos2x)/2=2−cos2x.

Упражнение 29. Преобразуйте sin²x+3cos²x.
Решение. (1−cos2x)/2+3(1+cos2x)/2=2+cos2x.

Упражнение 30. Преобразуйте a sin²x+b cos²x.
Решение. (a+b)/2 + (b−a)cos2x/2.

Упражнение 31. Понизьте степень в sin⁴x.
Решение. sin⁴x=(3−4cos2x+cos4x)/8.

Упражнение 32. Понизьте степень в cos⁴x.
Решение. cos⁴x=(3+4cos2x+cos4x)/8.

Упражнение 33. Преобразуйте sin²x cos²x.
Решение. (1−cos4x)/8.

Упражнение 34. Преобразуйте (sin x cos x)².
Решение. (1/4)sin²2x=(1−cos4x)/8.

Упражнение 35. Найдите среднее постоянное слагаемое в sin⁴x.
Решение. Оно равно 3/8.

Упражнение 36. Проверьте формулу sin⁴x при x=0.
Решение. Слева 0; справа (3−4+1)/8=0.

Упражнение 37. Проверьте формулу cos⁴x при x=0.
Решение. Слева 1; справа (3+4+1)/8=1.

Упражнение 38. Упростите sin⁴x−cos⁴x.
Решение. (sin²x−cos²x)(sin²x+cos²x)=−cos2x.

Упражнение 39. Упростите sin⁴x+cos⁴x.
Решение. (sin²x+cos²x)²−2sin²xcos²x = 1−(1−cos4x)/4 = (3+cos4x)/4.

Упражнение 40. Решите уравнение sin²x=1/2.
Решение. (1−cos2x)/2=1/2, значит cos2x=0; x=π/4+πk/2, k∈Z.

Упражнение 41. Решите уравнение cos²x=3/4.
Решение. (1+cos2x)/2=3/4, откуда cos2x=1/2; 2x=±π/3+2πk, x=±π/6+πk.

Упражнение 42. Найдите ∫sin²x dx.
Решение. x/2−sin2x/4+C.

Упражнение 43. Найдите ∫cos²x dx.
Решение. x/2+sin2x/4+C.

Упражнение 44. Найдите ∫sin²2x dx.
Решение. После понижения: ∫(1−cos4x)/2 dx = x/2−sin4x/8+C.

Упражнение 45. Докажите, что sin²x cos²x имеет период π/2.
Решение. После понижения выражение равно (1−cos4x)/8. Функция cos4x имеет период π/2, следовательно тот же период имеет исходное выражение.

Заключение

Формулы понижения степени связывают квадраты синуса и косинуса с косинусом удвоенного аргумента. Они выводятся из двух базовых равенств, поэтому их можно не только запомнить, но и восстановить: для sin² x используется разность, для cos² x — сумма, а всё выражение делится на два.

Последовательное применение формул позволяет преобразовывать четвёртые и более высокие чётные степени. В результате возникают постоянные слагаемые и функции кратных углов, что облегчает вычисление значений, доказательство тождеств, решение уравнений и нахождение первообразных.

Надёжный порядок работы включает выбор подходящей формулы, удвоение всего аргумента, точное распределение знаменателя и контроль результата при x = 0. Такой алгоритм предупреждает ошибки в знаках, коэффициентах и многошаговых преобразованиях.