Формулы сокращённого умножения: примеры

Из данной статьи вы узнаете:

1) Какие бывают формулы сокращённого умножения.

2) Где они могут применяться.

3) Примеры с использованием данных формул.

4) Выводы по теме, которые подведёте самостоятельно и примените в дальнейшем.

Формулы

Существует немалое количество формул. Сегодня вы познакомитесь лишь с частью из них: с теми, которые вам могут пригодиться прямо сейчас. Итак, вот некоторые из них:

1) Квадрат суммы двух чисел:

2) Квадрат разности двух чисел:

3) Разность квадратов двух чисел:

4) Разложение на множители квадратного трёхчлена:

(где — корни квадратного уравнения  ).
5) Разность кубов:

6) Куб разности:

7) Сумма кубов:

8) Куб суммы:

Формулы 5 — 8 обычно используются при обучении на курсах математики повышенной сложности и редко встречаются в заданиях.

Применение

Данные формулы в основном используют в заданиях и задачах, когда необходимо что-то упростить. Так-же с их помощью решаются некоторые уравнения и неравенства. Эти формулы могут упростить подсчёт в некоторых примерах.
Важно не забывать и про то, что это равенства. А равенства работают в две стороны. То есть можно как расписать что-то по формуле, так и обратно «сложить» в формулу.

Примеры

Рассмотрим примеры с данными формулами. В примерах будем брать как чисто буквенные записи, так и с числами выражения. Также рассмотрим пример, в котором необходимо будет что-то сократить, используя формулы сокращённого умножения. Следует обратить внимание при применении формул и на то, что под буквами а и b могут стоять не только числа или другие буквы, но и целые функции и выражения. Правила раскрытия скобок на них будут действовать одинаково, только что итоговое выражение может получиться не совсем маленьким и аккуратным.

1. Применяя формулы сокращенного умножения, раскрыть скобки:

А) 

Решение: 

В данном примере не наблюдается больших трудностей. Просто необходимо по примеру раскрывать скобки. Следующий пример решаем по такому же принципу.

Б) 

Решение: 

В) 

Решение: 

В данном примере важно правильно начать раскрывать формулу. В этом случае нужно возводить в квадрат не два числа, а число 4 и функцию 2х. В следующем примере присутствует одна функция и одно неизвестное число, но порядок действий не меняется.

Г) 

Решение: 

Так как а будет являться числом, то по правилу написания выражений оно будет ставиться перед неизвестной переменной х.

Д) 

Решение: 

Е) 
Решение:
 
Данный пример осложняется наличием целой скобки, но у него есть два способа для упрощения. Рассмотрим второй:


2. Применяя формулы сокращённого умножения, преобразовать выражения и вычислить числовой результат:
А) 
Решение: 
Благодаря формулам сокращённого умножения можно считать и самые неудобные числа.

Б) 

В данном примере необходимо сначала собрать формулу «куб суммы», чтобы затем применить её и упростить выражения для более удобного подсчёта. Для применения формулы нам необходимо будет добавить, а затем и отнять двухчлен 
Решение:
 

  После того, как максимально упростили выражение, можем подставлять числа:

Вывод

В целом, как видно из примеров, главное является умение «видеть формулу». Это приобретается спустя нарешивания примеров и уравнений с неравенствами. Также встречаются примеры, когда необходимо собрать в формулу какое-то выражение. И не всегда бывает так, что формула сразу готова к тому, чтобы её применили. Для этого надо будет что-то добавить, а затем и отнять сразу (чтобы знак равенства не потерял силу). Но об этом в следующих статьях.