Функция непрерывная в точке

Непрерывность в точке связывает три объекта: значение функции f(x₀), поведение f(x) при приближении x к x₀ и предел этого поведения. Функция непрерывна в x₀, если она определена в этой точке, имеет конечный предел при x→x₀ и этот предел равен f(x₀).

Геометрически условие означает отсутствие локального разрыва графика в рассматриваемой точке. Если окружающие значения стремятся к одному числу, сама точка должна находиться именно на этом уровне.

Особенно наглядно понятие работает для кусочных функций. Слева и справа могут действовать разные формулы, поэтому в точке склейки сравнивают два односторонних предела и фактическое значение. Из этого часто находится неизвестный параметр.

Три условия непрерывности в точке

Первое условие – существование значения f(x₀). Если точка не принадлежит области определения, обычной двусторонней непрерывности в ней нет. Поэтому функция 1/x не непрерывна в нуле.

Второе условие – существование конечного предела lim(x→x₀)f(x). Левый и правый пределы должны существовать и совпадать. Их различие даёт скачок, а неограниченное поведение – бесконечный разрыв.

Третье условие – равенство предела значению функции: lim(x→x₀)f(x)=f(x₀). При конечном пределе, не совпадающем с отдельным значением, разрыв обычно устраняется заменой f(x₀).

Таблица 1. Последовательность проверки непрерывности

Для стандартных элементарных функций в обычной точке проверка часто сокращается до подстановки. Многочлен, sin x, cos x, показательная функция и рациональная функция при ненулевом знаменателе непрерывны во всех допустимых точках.

Эквивалентные способы описания непрерывности

Через приращения условие записывается так: если Δx→0, то Δy=f(x₀+Δx)−f(x₀)→0. Эта форма подчёркивает, что малому изменению аргумента около x₀ соответствует сколь угодно малое изменение значения функции.

Последовательностный критерий требует, чтобы для любой последовательности xₙ→x₀ выполнялось f(xₙ)→f(x₀). В ε–δ-форме каждому ε>0 соответствует δ>0: из |x−x₀|<δ следует |f(x)−f(x₀)|<ε.

Таблица 2. Равносильные формы непрерывности

Устранимый разрыв и переопределение одной точки

Для f(x)=(x²−1)/(x−1) при x≠1 выражение сокращается до x+1, поэтому предел при x→1 равен 2. Если f(1) не задано, на графике остаётся выколотая точка. Достаточно положить f(1)=2, чтобы получить непрерывную функцию.

Кусочные функции и подбор параметров

В точке склейки кусочной функции сначала вычисляют левый предел по левой формуле, затем правый предел по правой. Для непрерывности они должны совпасть. После этого общий предел сравнивают со значением ветви, включающей точку.

Если в одной из частей присутствует параметр, условие равенства пределов превращается в алгебраическое уравнение. Так подбирают коэффициент, при котором две части графика соединяются без скачка.

Таблица 3. Что показывают односторонние пределы

Алгоритм проверки непрерывности в точке

• Подставить x₀ и установить, существует ли значение f(x₀).
• Найти левый предел lim(x→x₀−)f(x), особенно для кусочной формулы.
• Найти правый предел lim(x→x₀+)f(x).
• Сравнить односторонние пределы; при их различии двустороннего предела нет.
• Если пределы совпали, обозначить их общее значение L.
• Сравнить L с f(x₀): равенство означает непрерывность.
• При наличии параметра записать L₋=L₊=f(x₀) и решить уравнение.

Мини-шпаргалка по теме

• Основная формула: lim(x→x₀)f(x)=f(x₀).
• Сначала проверяется, существует ли f(x₀).
• Двусторонний предел существует только при L₋=L₊.
• Если общий предел отличается от f(x₀), разрыв устраним.
• Если L₋ и L₊ различны, возникает скачок.
• Через приращения: Δx→0 должно влечь Δy→0.
• Для кусочной функции в точке склейки сравнивают обе ветви.
• Параметр непрерывности находят из равенства пределов и значения.

Типичные ошибки и способы их предупреждения

Ошибка 1. Считать наличие предела достаточным. Если f(x₀) отсутствует или равно другому числу, непрерывности нет.

Ошибка 2. После сокращения дроби забывать исходную область. Сокращённая формула помогает найти предел, но не возвращает выколотую точку.

Ошибка 3. Для кусочной функции вычислять только один предел. Нужны оба односторонних предела.

Ошибка 4. Путать скачок с устранимым разрывом. При устранимом разрыве L₋=L₊, при скачке они различны.

Ошибка 5. Требовать двусторонний подход в граничной точке области. Например, √x в нуле проверяется справа.

Практические рекомендации

Для стандартной формулы сначала попробуйте прямую подстановку. Если она допустима и функция составлена из непрерывных элементарных функций, длинное вычисление предела обычно не требуется.

Для кусочного задания удобно выписать тройку L₋, L₊, f(x₀). Такая запись сразу показывает, какое условие нарушено и можно ли устранить разрыв заменой одного значения.

Как различать основные виды разрывов

Устранимый разрыв имеет единый конечный предел: проблема только в значении самой точки. Его можно закрыть одним правильно выбранным значением.

При скачке левый и правый пределы конечны, но различны. При бесконечном разрыве хотя бы с одной стороны значения неограниченно растут по модулю.

Таблица 4. Сравнение пределов и значения в точке

Образцы краткого анализа

Образец 1. Для f(x)=x² в x₀=2: lim(x→2)x²=4=f(2). Все условия выполнены.

Образец 2. Для (x²−4)/(x−2) при x≠2 предел в точке 2 равен 4. Если f(2) не задано, разрыв устраняется значением f(2)=4.

Образец 3. Если f=0 при x<0 и f=1 при x≥0, то в нуле L₋=0, L₊=1. Возникает скачок.

Образец 4. Для 1/(x−4) в x₀=3 подстановка допустима: предел и значение равны −1; в x₀=4 функция не определена.

Связь непрерывности с другими свойствами функции

Непрерывность является базовым локальным свойством. Дифференцируемость в точке обязательно влечёт непрерывность, хотя непрерывная функция может не иметь производной.

Проверка точек склейки, устранимых разрывов и пределов необходима при построении графиков и исследовании составных функций.

Сорок пять практических упражнений

Задания охватывают прямую проверку, односторонние пределы, устранимые и неустранимые разрывы, приращения, кусочные функции и подбор параметров. Каждое упражнение сопровождается кратким решением.

Упражнение 1. Проверьте непрерывность f(x)=x² в точке x₀=2.

Решение. lim(x→2)x²=4 и f(2)=4, поэтому функция непрерывна.

Упражнение 2. Проверьте f(x)=3x−1 в точке x₀=0.

Решение. Предел равен −1 и f(0)=−1; непрерывность выполнена.

Упражнение 3. Непрерывна ли f(x)=|x| в точке 0?

Решение. Да. Левый и правый пределы равны 0 и совпадают с f(0).

Упражнение 4. Непрерывна ли f(x)=1/x в точке x₀=1?

Решение. Да. Знаменатель не равен нулю, lim(x→1)1/x=1=f(1).

Упражнение 5. Непрерывна ли f(x)=1/x в точке x₀=0?

Решение. Нет. Значение f(0) не существует.

Упражнение 6. Найдите предел (x²−4)/(x−2) при x→2.

Решение. После сокращения при x≠2 получаем x+2, поэтому предел равен 4.

Упражнение 7. Как определить значение в x=2, чтобы предыдущая функция стала непрерывной?

Решение. Нужно положить f(2)=4.

Упражнение 8. Если в предыдущем примере задать f(2)=5, будет ли функция непрерывной?

Решение. Нет. Предел равен 4, а значение функции равно 5.

Упражнение 9. Найдите a для непрерывности: f=ax+1 при x<2 и f=5 при x≥2.

Решение. Слева 2a+1, справа и значение 5. Из 2a+1=5 получаем a=2.

Упражнение 10. Найдите a: f=x+3 при x≤1, f=ax при x>1.

Решение. Слева и значение равны 4, справа предел a. Поэтому a=4.

Упражнение 11. Найдите b: f=2x+b при x<0, f=x²+1 при x≥0.

Решение. Левый предел b, правый предел и f(0) равны 1. Следовательно, b=1.

Упражнение 12. Найдите a: f=a при x≤3, f=x−1 при x>3.

Решение. Правый предел в 3 равен 2, значит для непрерывности a=2.

Упражнение 13. Непрерывна ли функция sign x в точке 0?

Решение. Нет: слева предел −1, справа +1; односторонние пределы различны.

Упражнение 14. Что происходит у f(x)=1/x при x=0?

Решение. Возникает бесконечный разрыв: конечного двустороннего предела нет.

Упражнение 15. Какой разрыв у (x²−1)/(x−1) в x=1, если значение не задано?

Решение. Устранимый: предел равен 2, но сама точка отсутствует.

Упражнение 16. Непрерывна ли sin x в точке π/6?

Решение. Да. sin x непрерывен на ℝ.

Упражнение 17. Непрерывна ли tg x в точке 0?

Решение. Да, поскольку cos0=1≠0.

Упражнение 18. Непрерывна ли tg x в точке π/2?

Решение. Нет. В этой точке cos x=0 и тангенс не определён.

Упражнение 19. Непрерывна ли √x в точке x₀=4?

Решение. Да. Предел равен 2=f(4).

Упражнение 20. Как трактовать непрерывность √x в точке 0?

Решение. Как правостороннюю: lim(x→0+)√x=0=f(0).

Упражнение 21. Найдите приращение Δy для f(x)=x².

Решение. Δy=(x₀+Δx)²−x₀²=2x₀Δx+(Δx)².

Упражнение 22. Почему это Δy подтверждает непрерывность x²?

Решение. При Δx→0 оба слагаемых стремятся к нулю, значит Δy→0.

Упражнение 23. Найдите Δy для f(x)=5x+2.

Решение. Δy=5Δx.

Упражнение 24. Выберите δ для |3x−3x₀|<ε.

Решение. Достаточно взять δ=ε/3.

Упражнение 25. Выберите δ для f(x)=2x+1.

Решение. Из |f(x)−f(x₀)|=2|x−x₀| следует δ=ε/2.

Упражнение 26. Каков первый шаг проверки непрерывности в точке?

Решение. Убедиться, что значение f(x₀) существует.

Упражнение 27. Каков второй шаг?

Решение. Найти конечный предел lim(x→x₀)f(x), при необходимости через односторонние пределы.

Упражнение 28. Каков третий шаг?

Решение. Сравнить предел с f(x₀); они должны совпасть.

Упражнение 29. Что означает L₋≠L₊?

Решение. Двустороннего предела нет, поэтому функция не непрерывна.

Упражнение 30. Если lim f(x)=7, но f(x₀) не задано, как убрать разрыв?

Решение. Доопределить функцию значением f(x₀)=7.

Упражнение 31. Если lim f(x)=7, а f(x₀)=2, что изменить?

Решение. Переопределить значение в точке: f(x₀)=7.

Упражнение 32. Непрерывна ли f(x)=x²+cos x в x₀=1?

Решение. Да. Сумма непрерывных функций непрерывна.

Упражнение 33. Непрерывна ли f(x)=x ln x в x₀=1?

Решение. Да. Обе функции непрерывны около 1, произведение сохраняет непрерывность.

Упражнение 34. Непрерывна ли 1/(x−4) в x₀=3?

Решение. Да. Знаменатель равен −1.

Упражнение 35. Непрерывна ли 1/(x−4) в x₀=4?

Решение. Нет, функция там не определена.

Упражнение 36. Непрерывна ли √(x²+1) в x₀=0?

Решение. Да. Внутреннее выражение положительно, композиция непрерывна.

Упражнение 37. Верно ли: непрерывность в x₀ влечёт существование предела?

Решение. Да. По определению предел существует и равен f(x₀).

Упражнение 38. Верно ли обратное: существование предела всегда означает непрерывность?

Решение. Нет. Значение функции может отсутствовать или отличаться от предела.

Упражнение 39. Проверьте f=0 при x<0 и f=1 при x≥0 в точке 0.

Решение. L₋=0, L₊=1; это скачок, непрерывности нет.

Упражнение 40. f(x)=x при x≠0 и f(0)=0. Непрерывна ли она в 0?

Решение. Да: предел равен 0 и совпадает со значением.

Упражнение 41. f(x)=x при x≠0 и f(0)=1. Непрерывна ли она в 0?

Решение. Нет: предел 0 не равен f(0)=1.

Упражнение 42. Сформулируйте последовательностный критерий.

Решение. Для любой последовательности xₙ→x₀ из области должно выполняться f(xₙ)→f(x₀).

Упражнение 43. Как доказать разрыв двумя последовательностями?

Решение. Найти xₙ→x₀ и yₙ→x₀, для которых значения функции стремятся к разным пределам.

Упражнение 44. Что сильнее: дифференцируемость или непрерывность?

Решение. Дифференцируемость сильнее: дифференцируемая функция непрерывна в этой точке.

Упражнение 45. Сформулируйте краткий алгоритм.

Решение. Найти f(x₀), левый и правый пределы, проверить их равенство и сравнить общий предел со значением.

Заключение

Непрерывность в точке требует существования f(x₀), конечного предела при x→x₀ и равенства этого предела значению функции. Выпадение любого звена означает разрыв.

Односторонние пределы позволяют диагностировать проблему: их совпадение при неверном значении даёт устранимый разрыв; различие конечных пределов – скачок; неограниченное поведение – бесконечный разрыв.

Формулировки через приращения, последовательности и ε–δ выражают одну идею: при достаточно малом изменении аргумента непрерывная функция изменяется сколь угодно мало.