Исследование функции на монотонность и экстремумы

В заданиях профильной математики на ЕГЭ регулярно встречаются вопросы на:

• определение промежутков возрастания/убывания функции;

• нахождение локальных экстремумов (максимумов и минимумов);

• подсчет количества экстремумов на отрезке;

• сравнение значений функции по таблице монотонности;

• анализ графиков производной и восстановление поведения исходной функции.

Компетентное владение методами исследования обеспечивает быстрое и безошибочное решение задач, экономит время и снижает риск арифметических ошибок.

Базовые определения

Связь монотонности с производной

1. Критерий монотонности
   
   

2. Теорема Ферма (необходимое условие экстремума)
   

   Если x0​ – точка локального экстремума дифференцируемой функции, то f′(x0)=0. Обратно неверно: равенство нулю – лишь необходимое, но не достаточное условие.

3. Первый признак (тест) экстремума
   

   Пусть x0​ – критическая точка, и f определена в некоторой окрестности x0​.

   • Если производная меняет знак с «+ на −», то в x0​ локальный максимум.

   • Если с «− на +», то локальный минимум.

   • Если знак не меняется, экстремума нет (возможна стационарная точка перегиба).

4. Второй признак (по второй производной)
   
   

Пошаговый алгоритм для задач ЕГЭ

Типовые формулы производных (минимум, нужный для ЕГЭ)

Часто используемые факты о монотонности элементарных функций

Недифференцируемые и «особые» точки

Стратегия и типичные ловушки на ЕГЭ

Развернутые примеры-упражнения (формат ЕГЭ)

Упражнение 1 (полином и стационарный перегиб)
Исследуйте на монотонность и найдите экстремумы функции 

Упражнение 2 (рациональная функция с разрывом)
Исследуйте монотонность и экстремумы 

Упражнение 3 (модуль: недифференцируемость и абсолютный минимум)
Исследуйте монотонность и экстремумы 

Упражнение 4 (экспонента и логарифм, смешанный тип)
Исследуйте монотонность и найтите экстремумы  

Упражнение 5 (тригонометрия на ограниченном интервале)
На интервале исследуйте 

Таблица монотонности (как оформлять ответ)

Кусочные функции и точки склейки

Если f задана кусочно, анализ проводится по каждому куску отдельно, после чего проверяется согласование на границах:

• принадлежит ли точка склейки области определения;

• непрерывность в точке (важно для вопросов о глобальных экстремумах на отрезке);

• существуют ли односторонние производные и меняется ли монотонность.

Экстремумы на отрезке

Для задачи «найдите наименьшее/наибольшее значение на [a, b]» алгоритм строгий:

1. Найти критические точки внутри (a, b).

2. Посчитать f в этих точках и на концах a, b.

3. Сравнить все полученные значения – минимум и максимум выбираются из них.

Мини-шпаргалка (ЕГЭ)

• Начинай с D(f).

• Не пропускай точки, где f′f нет, – это тоже критические.

• Первый тест экстремума – самый универсальный: смотрим смену знака f′.

• На отрезке сравнивай экстремумы внутри и концы.

• При логарифмах и корнях – строго выписывай ограничения.

• В тригонометрии – сузить интервал, привести уравнение к tan, следить за периодичностью.

• График f′: нули f′ со сменой знака ⇒ экстремумы f.

Дополнительные примечания для продвинутой практики

Короткий тренировочный блок (ещё 5 самостоятельных заданий без решений)

Итог

Исследование функции на монотонность и экстремумы сводится к аналитике знака производной с аккуратным учетом области определения, точек недифференцируемости и поведения на границах. Четкий алгоритм, умение строить таблицу монотонности и применять первый/второй признаки экстремума позволяют уверенно решать характерные задачи ЕГЭ, в том числе с параметрами и кусочными определениями.