Критерий Сильвестра

Критерий Сильвестра позволяет определить знак невырожденной квадратичной формы без вычисления всех собственных значений матрицы. Проверка сводится к последовательному нахождению определителей вложенных квадратных блоков, расположенных в левом верхнем углу симметрической матрицы.

Главная идея состоит в том, что знаки ведущих главных миноров отражают накопленное поведение формы при поочерёдном подключении переменных. Если каждый такой минор положителен, форма принимает положительные значения на всех ненулевых векторах. При чередовании знаков, начинающемся с отрицательного, форма отрицательна на каждом ненулевом векторе.

Метод особенно удобен при исследовании матриц второго и третьего порядка, параметрических форм, матриц Гессе и задач оптимизации. Точность вывода зависит от трёх действий: проверки симметрии, правильного выбора именно ведущих главных миноров и строгого анализа их знаков.

Квадратичная форма и её матрица

Квадратичной формой от переменных x₁, …, x_n называют однородный многочлен второй степени. В матричной записи он имеет вид Q(x) = x^TAx, где x – столбец переменных, а A – симметрическая матрица коэффициентов. Коэффициент при произведении x_ix_j делится поровну между элементами a_ij и a_ji.

Форма называется положительно определённой, если Q(x) > 0 для любого x ≠ 0, и отрицательно определённой, если Q(x) < 0 для любого x ≠ 0. Если форма принимает значения разных знаков, она является неопределённой. Нулевые значения на ненулевых векторах приводят к полуопределённости и требуют отдельной проверки.

Как формулируется критерий Сильвестра

Пусть A – действительная симметрическая матрица порядка n. Обозначим через A_k её левый верхний квадратный блок порядка k, а через Δ_k = det A_k – соответствующий ведущий главный минор. Тогда квадратичная форма Q(x) = xᵀAx положительно определена тогда и только тогда, когда выполняются неравенства Δ₁ > 0, Δ₂ > 0, …, Δ_n > 0.

Для отрицательной определённости знаки должны чередоваться: Δ₁ < 0, Δ₂ > 0, Δ₃ < 0 и так далее. Компактная запись имеет вид (−1)ᵏΔ_k > 0 для каждого k от 1 до n. Последний минор Δ_n совпадает с определителем всей матрицы.

Слово «тогда и только тогда» важно: набор условий не просто достаточен, а полностью характеризует строгую положительную или отрицательную определённость симметрической формы. Однако нарушение нужной последовательности ещё не всегда означает неопределённость: возможна полуопределённая форма.

Таблица 1. Последовательность знаков и вывод по критерию

Почему используются вложенные угловые блоки

Матрицы A₁, A₂, …, A_n образуют цепочку: каждый следующий блок получается добавлением одной строки и одного столбца. Такая последовательность согласуется с методом последовательного выделения квадратов и с разложением LDLᵀ, в котором знаки диагональных множителей выражаются через отношения Δ_k/Δ_{k_1}.

Именно ведущие, а не случайно выбранные миноры дают требуемую цепочку условий для строгой определённости. Подмена углового минора любым главным минором нарушает алгоритм, хотя при исследовании полуопределённости действительно приходится учитывать все главные миноры.

Вычисление ведущих главных миноров

Для матрицы второго порядка A = [[a, b], [b, c]] первый минор равен Δ₁ = a, а второй – Δ₂ = ac − b². Поэтому положительная определённость эквивалентна двум условиям a > 0 и ac − b² > 0. Для отрицательной определённости требуется a < 0 и ac − b² > 0.

У матрицы третьего порядка сначала берут элемент a₁₁, затем определитель левого верхнего блока 2 × 2 и только после этого определитель всей матрицы. Вычисления удобно вести по строке с нулями, методом треугольного преобразования либо формулой определителя третьего порядка, не меняя сами значения миноров недопустимыми операциями.

Если при преобразовании строки умножают на число или переставляют местами, определитель изменяется. Поэтому любые сокращения должны сопровождаться учётом множителя и знака. Наиболее безопасно вычислять каждый Δ_k отдельно и подписывать его номер.

Таблица 2. Примеры вычисления и интерпретации

Положительная, отрицательная и неопределённая формы

Положительно определённая форма задаёт поверхность, направленную вверх: в двух переменных её уровни напоминают эллипсы. Отрицательно определённая форма получается умножением положительно определённой на −1. Неопределённая форма имеет направления, в которых значения положительны, и направления, в которых они отрицательны.

Критерий Сильвестра уверенно распознаёт два строгих случая. Если условия не выполнены, следует дополнительно исследовать значения формы, собственные числа, ранги или все главные миноры. Это особенно важно при нулевом определителе, когда строгая определённость невозможна, но полуопределённость ещё может сохраняться.

Алгоритм проверки квадратичной формы

• Записать форму в виде Q(x) = xᵀAx и проверить, что матрица A симметрична.
• Выделить левый верхний блок A₁ и вычислить Δ₁ = a₁₁.
• Последовательно построить A₂, A₃, …, A_n и найти их определители.
• Для положительной определённости проверить строгую положительность каждого Δ_k.
• Для отрицательной определённости проверить условие (−1)ᵏΔ_k > 0.
• При наличии параметра решить полученную систему строгих неравенств.
• Не делать вывод о неопределённости только по факту нарушения одной схемы.
• Проверить результат подстановкой нескольких векторов или другим методом.

Таблица 3. Правильные действия и характерные нарушения

Как проверить полученный результат

Для матрицы второго порядка полезно сравнить ответ со следом и определителем. Если оба собственных числа положительны, то след и определитель положительны; если оба отрицательны, след отрицателен, а определитель положителен. Эти признаки служат контролем, но не заменяют критерий в общем случае.

Второй способ – подставить простые векторы. Если предполагается положительная определённость, но найден ненулевой x с Q(x) ≤ 0, вычисление миноров содержит ошибку. Для неопределённости достаточно предъявить два вектора, на которых форма принимает значения разных знаков.

Мини-шпаргалка по теме

• Матрица квадратичной формы должна быть симметричной: Aᵀ = A.
• Δ_k – определитель левого верхнего блока порядка k.
• Положительная определённость: Δ₁ > 0, …, Δ_n > 0.

•  Отрицательная определённость: Δ₁ < 0, Δ₂ > 0, Δ₃ < 0, …
• Равносильная запись отрицательного случая: (−1)ᵏΔ_k > 0.
• Нулевой ведущий минор исключает строгую определённость.
• Нарушение критерия не всегда означает неопределённость.
• Для полуопределённости исследуют все главные миноры.
• При параметрах решают систему строгих неравенств.
• Результат полезно проверить значениями формы или собственными числами.

Типичные ошибки и способы их предупреждения

Ошибка 1. Матрица составлена без деления смешанного коэффициента. В форме 2x² + 6xy + 5y² элементы a₁₂ и a₂₁ равны 3, а не 6. Иначе произведения xᵀAx дадут удвоенный смешанный член и все последующие миноры окажутся неверными.

Ошибка 2. Проверяется только определитель всей матрицы. Положительный det A совместим как с положительной, так и с отрицательной определённостью, а в размерности выше двух – и с неопределённостью. Нужно вычислить всю цепочку Δ₁, …, Δ_n.

Ошибка 3. Используется произвольный главный минор. В критерии требуются именно ведущие главные миноры, расположенные в левом верхнем углу.

Ошибка 4. Чередование знаков начинается с плюса. Для отрицательной определённости первый минор обязан быть отрицательным, второй – положительным, третий – отрицательным.

Ошибка 5. Нулевой минор автоматически трактуется как неопределённость. На самом деле форма может быть положительно или отрицательно полуопределённой.

Ошибка 6. Не проверяется симметрия. Для квадратичной формы несимметричную запись заменяют симметрической частью (A + Aᵀ)/2, поскольку кососимметричная часть не влияет на xᵀAx.

Практические рекомендации

Перед вычислениями выпишите матрицы A₁, A₂, … отдельно. Такой приём исключает случайный выбор строк и столбцов. Рядом с каждым определителем оставляйте обозначение Δ_k и только после завершения вычислений записывайте цепочку знаков.

В параметрических задачах сначала получают формулы для миноров, затем решают неравенства совместно. Границы, при которых минор равен нулю, не входят в область строгой определённости. После решения полезно подставить одно контрольное значение параметра.

Сорок практических упражнений

Задания расположены от распознавания матрицы и вычисления простых миноров к параметрическим формам, полуопределённости и применению критерия к матрице Гессе. После каждого упражнения приведено решение.

Упражнение 1. Укажите, является ли матрица [[2, 1], [1, 4]] симметричной.
Решение. Да. Внедиагональные элементы совпадают, поэтому Aᵀ = A.

Упражнение 2. Запишите ведущие главные миноры матрицы [[a, b], [b, c]].
Решение. Δ₁ = a, Δ₂ = ac − b².

Упражнение 3. Исследуйте матрицу [[2, 1], [1, 3]].
Решение. Δ₁ = 2 > 0, Δ₂ = 6 − 1 = 5 > 0. Матрица положительно определена.

Упражнение 4. Исследуйте матрицу [[−2, 1], [1, −3]].
Решение. Δ₁ = −2 < 0, Δ₂ = 6 − 1 = 5 > 0. Матрица отрицательно определена.

Упражнение 5. Определите характер формы с матрицей [[1, 2], [2, 1]].
Решение. Δ₁ = 1, Δ₂ = −3. Форма принимает разные знаки, например Q(1,1)=6, Q(1,−1)=−2; она неопределённая.

Упражнение 6. Исследуйте диагональную матрицу diag(4, 2, 1).
Решение. Δ₁=4, Δ₂=8, Δ₃=8. Все миноры положительны; форма положительно определена.

Упражнение 7. Исследуйте diag(−1, −2, −5).
Решение. Δ₁=−1, Δ₂=2, Δ₃=−10. Знаки чередуются; форма отрицательно определена.

Упражнение 8. Исследуйте [[0, 0], [0, 1]].
Решение. Δ₁=0, поэтому строгой положительной определённости нет. Q(x,y)=y² ≥ 0; форма положительно полуопределена.

Упражнение 9. Проверьте [[3, −1], [−1, 2]].
Решение. Δ₁=3>0, Δ₂=6−1=5>0. Матрица положительно определена.

Упражнение 10. Составьте матрицу формы Q=2x²+4xy+5y² и исследуйте её.
Решение. A=[[2,2],[2,5]]. Δ₁=2, Δ₂=10−4=6; форма положительно определена.

Упражнение 11. Исследуйте Q=−3x²+2xy−2y².
Решение. A=[[-3,1],[1,-2]]. Δ₁=−3, Δ₂=6−1=5; форма отрицательно определена.

Упражнение 12. Исследуйте Q=x²+4xy+y².
Решение. A=[[1,2],[2,1]], Δ₂=−3. Значения разных знаков; форма неопределённая.

Упражнение 13. Проверьте матрицу [[2,−1,0],[-1,2,−1],[0,−1,2]].
Решение. Δ₁=2, Δ₂=3, Δ₃=4. Все миноры положительны.

Упражнение 14. Исследуйте [[1,1,1],[1,2,2],[1,2,3]].
Решение. Δ₁=1, Δ₂=1, Δ₃=1. Матрица положительно определена.

Упражнение 15. Исследуйте [[−1,0,0],[0,−2,1],[0,1,−2]].
Решение. Δ₁=−1, Δ₂=2, Δ₃=−3. Форма отрицательно определена.

Упражнение 16. При каких a матрица [[a,1],[1,2]] положительно определена?
Решение. Нужно a>0 и 2a−1>0. Итог: a>1/2.

Упражнение 17. При каких t матрица [[2,t],[t,3]] положительно определена?
Решение. Δ₁=2>0, Δ₂=6−t²>0. Следовательно, |t|<√6.

Упражнение 18. При каких a матрица [[−a,0],[0,−2]] отрицательно определена?
Решение. Δ₁=−a<0 и Δ₂=2a>0. Оба условия дают a>0.

Упражнение 19. Исследуйте [[1,a],[a,a²]].
Решение. Δ₂=a²−a²=0. Строгой определённости нет; Q=(x+ay)², поэтому форма положительно полуопределена.

Упражнение 20. При каких t форма x²+2txy+y² положительно определена?
Решение. A=[[1,t],[t,1]], Δ₂=1−t²>0. Ответ: |t|<1.

Упражнение 21. При каких t форма −x²+2txy−y² отрицательно определена?
Решение. A=[[-1,t],[t,-1]], Δ₂=1−t²>0. Ответ: |t|<1.

Упражнение 22. При каких a матрица diag(1,a,2) положительно определена?
Решение. Миноры: 1, a, 2a. Требуется a>0.

Упражнение 23. При каких a матрица diag(−1,a,−3) отрицательно определена?
Решение. Миноры: −1, −a, 3a. Условия дают a<0.

Упражнение 24. Для A=[[1,2],[0,1]] найдите симметрическую матрицу той же формы xᵀAx.
Решение. Берём (A+Aᵀ)/2=[[1,1],[1,1]]. Форма равна (x+y)².

Упражнение 25. Найдите миноры [[2,1,0],[1,2,1],[0,1,2]].
Решение. Δ₁=2, Δ₂=3, Δ₃=4; матрица положительно определена.

Упражнение 26. Исследуйте [[4,2],[2,1]].
Решение. Δ₁=4, Δ₂=0. Q=(2x+y)²; форма положительно полуопределена.

Упражнение 27. Исследуйте [[0,1],[1,0]].
Решение. Δ₁=0, Δ₂=−1. Q=2xy принимает оба знака; форма неопределённая.

Упражнение 28. Почему из Δ₁=0 нельзя сразу заключить, что форма неопределённая?
Решение. Пример Q=y² имеет Δ₁=0, но не принимает отрицательных значений; она положительно полуопределена.

Упражнение 29. Известно: Δ₁=2, Δ₂=−1, Δ₃=−3. Что можно сказать?
Решение. Левый блок 2×2 уже неопределён, поэтому вся симметрическая форма неопределённа.

Упражнение 30. Известно: Δ₁=−2, Δ₂=5, Δ₃=−7. Определите вид формы.
Решение. Знаки −,+,− удовлетворяют отрицательному критерию; форма отрицательно определена.

Упражнение 31. Известно: Δ₁=−2, Δ₂=5, Δ₃=7. Определите характер формы.
Решение. Отрицательная схема нарушена. По LDLᵀ знаки диагонали: −,−,+; форма неопределённая.

Упражнение 32. Проверьте [[2,1],[1,2]] и сравните с собственными числами.
Решение. Δ₁=2, Δ₂=3, значит форма положительна. Собственные числа 1 и 3 также положительны.

Упражнение 33. Постройте разложение Холецкого для [[4,2],[2,3]].
Решение. L=[[2,0],[1,√2]], поскольку LLᵀ=[[4,2],[2,3]]. Положительная диагональ согласуется с критерием.

Упражнение 34. Исследуйте [[1,−2],[−2,5]].
Решение. Δ₁=1, Δ₂=5−4=1; форма положительно определена.

Упражнение 35. Проверьте все главные миноры [[1,1],[1,1]].
Решение. Миноры первого порядка равны 1 и 1, второго – 0. Все неотрицательны; форма положительно полуопределена.

Упражнение 36. При каких a форма ax²+2xy+3y² положительно определена?
Решение. A=[[a,1],[1,3]]. Требуется a>0 и 3a−1>0. Ответ: a>1/3.

Упражнение 37. При каких a форма −2x²+4xy−ay² отрицательно определена?
Решение. A=[[-2,2],[2,-a]]. Δ₂=2a−4>0. Ответ: a>2.

Упражнение 38. При каких t матрица [[1,0,0],[0,2,t],[0,t,3]] положительно определена?
Решение. Δ₁=1, Δ₂=2, Δ₃=6−t². Ответ: |t|<√6.

Упражнение 39. Докажите, что сумма двух положительно определённых форм положительно определена.
Решение. Для x≠0 обе формы дают положительные числа, поэтому их сумма также положительна.

Упражнение 40. Исследуйте точку (0,0) функции f=x²+2xy+3y² по матрице Гессе.
Решение. H=[[2,2],[2,6]]. Δ₁=2, Δ₂=8; H положительно определена. Точка (0,0) является строгим, а здесь и глобальным минимумом.

Контрольные вопросы для самопроверки

• Как связаны квадратичная форма и симметрическая матрица?
• Что называют ведущим главным минором?
• Какая последовательность знаков соответствует положительной определённости?
• Как записывается условие отрицательной определённости?
• Почему одного определителя всей матрицы недостаточно?
• Что означает равенство одного из ведущих миноров нулю?
• Чем полуопределённая форма отличается от определённой?
• Как составить матрицу по смешанному члену 2aᵢ _jxᵢx_j?
• Как проверить ответ с помощью значений формы?
• Где критерий Сильвестра применяется в задачах оптимизации?

Заключение

Критерий Сильвестра превращает исследование знака квадратичной формы в последовательную работу с определителями. Для положительной определённости все ведущие главные миноры симметрической матрицы должны быть строго положительными. Для отрицательной определённости их знаки чередуются, начиная с отрицательного.

Надёжное применение критерия начинается с корректного составления матрицы и проверки её симметрии. Затем вычисляются вложенные угловые миноры, анализируются строгие неравенства и формулируется вывод. При нулевых минорах либо нарушении обеих схем требуется дополнительное исследование, поскольку форма может оказаться полуопределённой или неопределённой.

Регулярное решение задач помогает увидеть за формальными определителями геометрический смысл: положительная форма задаёт устойчивое возрастание от нуля, отрицательная – устойчивое убывание, а неопределённая сочетает направления разных знаков. Благодаря этому критерий применяется не только в алгебре, но и при анализе экстремумов, устойчивости и матричных моделей.