Матрица Грама

Матрица Грама собирает все попарные скалярные произведения системы векторов в единую таблицу. Благодаря этому она одновременно хранит длины, углы, ортогональность и линейную зависимость.

Для векторов v₁,…,vₘ элемент gᵢⱼ равен vᵢ·vⱼ. Диагональ содержит квадраты норм, а симметричные внедиагональные элементы описывают взаимное направление пар. Такая структура делает матрицу естественным инструментом многомерной геометрии.

Особое значение имеет определитель Грама. Для независимых векторов он положителен и равен квадрату соответствующего объёма; при зависимости обращается в ноль. Геометрический вопрос тем самым сводится к матричному вычислению.

Как строится матрица Грама

Пусть дана система v₁,…,vₘ в евклидовом пространстве. Матрица G=(gᵢⱼ) имеет размер m×m, а каждый элемент вычисляется по правилу gᵢⱼ=⟨vᵢ,vⱼ⟩. Порядок векторов определяет порядок строк и столбцов.

Симметрия скалярного произведения даёт Gᵀ=G. На диагонали стоят gᵢᵢ=|vᵢ|²≥0. Если система ортогональна, все внедиагональные элементы равны нулю; если ортонормирована, G=I.

Если координатные столбцы векторов собраны в матрицу A, то G=AᵀA. Эта формула объясняет неотрицательность квадратичной формы cᵀGc=|Ac|².

Таблица 1. Элементы матрицы Грама

Порядок матрицы Грама равен числу векторов, а не размерности пространства, в котором они заданы.

Положительная полуопределённость и ранг

Для любого столбца коэффициентов c выполняется cᵀGc=|c₁v₁+…+cₘvₘ|²≥0. Поэтому всякая матрица Грама положительно полуопределена. Если векторы независимы, равенство возможно только при c=0.

Ядро G соответствует линейным связям между векторами. Отсюда следует rank G=rank(v₁,…,vₘ). Нулевой определитель означает зависимость системы.

Таблица 2. Свойства матрицы Грама

Определитель Грама и геометрия

Для двух векторов det G равен квадрату площади параллелограмма, для трёх — квадрату объёма параллелепипеда. В общем случае √det G измеряет многомерный объём независимой системы.

Как читать матрицу без восстановления векторов

По диагонали сразу находятся длины. Отношение gᵢⱼ/√(gᵢᵢgⱼⱼ) даёт косинус угла между ненулевыми векторами. Нули вне диагонали обнаруживают ортогональные пары.

Определитель и ранг показывают наличие линейных связей. При det G=0 хотя бы один вектор выражается через остальные; при det G>0 вся система независима.

Таблица 3. Данные матрицы и вывод

Алгоритм работы с матрицей Грама

• Зафиксировать порядок векторов v₁,…,vₘ.
• Вычислить квадраты норм для диагональных элементов.
• Найти попарные произведения и симметрично заполнить матрицу.
• Проверить симметрию и неотрицательность диагонали.
• По условию вычислить ранг, определитель, угол или объём.
• Для объёма извлечь неотрицательный корень из det G.
• Сопоставить результат с зависимостью и размерностью системы.

Мини-шпаргалка по теме

• Матрица Грама имеет порядок, равный числу векторов.
• Элемент gᵢⱼ равен скалярному произведению vᵢ·vⱼ.
• Матрица симметрична и положительно полуопределена.
• На диагонали расположены квадраты длин.
• Нули вне диагонали означают ортогональность.
• Ранг G совпадает с рангом исходной системы.
• det G=0 является критерием зависимости.
• Корень из det G равен площади или объёму.

Типичные ошибки и способы их предупреждения

Ошибка 1. Матрицу делают размером, равным числу координат. Её порядок определяется количеством векторов.

Ошибка 2. На диагональ записывают длины вместо квадратов длин.

Ошибка 3. Отдельно вычисляют gᵢⱼ и gⱼᵢ и получают разные значения, нарушая симметрию.

Ошибка 4. Отрицательный определитель считают допустимым для произвольной матрицы Грама.

Ошибка 5. Объём приравнивают det G. На самом деле требуется √det G.

Практические рекомендации

Удобно начинать с диагонали, затем заполнять верхний треугольник и зеркально переносить значения вниз.

При проверке предлагаемой матрицы нужно последовательно проверить симметрию, диагональ и положительную полуопределённость.

Как различать матрицу координат и матрицу Грама

Матрица координат A хранит сами векторы и обычно имеет размер n×m. Матрица Грама G=AᵀA имеет размер m×m и хранит метрические данные.

Из G нельзя единственным образом восстановить координаты: ортогональные преобразования сохраняют длины, углы и матрицу Грама.

Таблица 4. Матрица координат и матрица Грама

Образцы краткого разбора

Образец 1. Для v₁=(1;0), v₂=(1;1) получаем G=[[1,1],[1,2]], det G=1, поэтому векторы независимы.

Образец 2. Для ортогональных (2;0) и (0;3) G=diag(4,9), площадь равна 6.

Образец 3. Для (1;2) и (2;4) определитель Грама равен нулю, что подтверждает пропорциональность.

Образец 4. Если G=[[4,2],[2,9]], длины равны 2 и 3, а cos φ=1/3.

Связь темы с ортогонализацией и объёмами

Матрица Грама появляется в методе наименьших квадратов, нормальных уравнениях, анализе данных и ортогонализации.

Определитель Грама обобщает формулы площади и объёма на пространства любой размерности.

Сорок пять практических упражнений

Упражнения расположены от прямого применения формул к смысловому анализу, поиску ошибок и задачам на несколько действий. После каждого задания приведено решение, поэтому материал подходит для самостоятельной тренировки и проверки.

Упражнение 1. Составьте матрицу Грама для системы [(3, 4)].
Решение. G=[[25]].

Упражнение 2. Составьте матрицу Грама для системы [(1, 0), (0, 1)].
Решение. G=[[1, 0], [0, 1]].

Упражнение 3. Составьте матрицу Грама для системы [(1, 0), (1, 1)].
Решение. G=[[1, 1], [1, 2]].

Упражнение 4. Составьте матрицу Грама для системы [(2, 0), (0, 3)].
Решение. G=[[4, 0], [0, 9]].

Упражнение 5. Составьте матрицу Грама для системы [(1, 2), (2, 4)].
Решение. G=[[5, 10], [10, 20]].

Упражнение 6. Составьте матрицу Грама для системы [(1, 1, 0), (1, -1, 0)].
Решение. G=[[2, 0], [0, 2]].

Упражнение 7. Составьте матрицу Грама для системы [(1, 0, 1), (0, 1, 1)].
Решение. G=[[2, 1], [1, 2]].

Упражнение 8. Составьте матрицу Грама для системы [(1, 0), (0, 2), (1, 2)].
Решение. G=[[1, 0, 1], [0, 4, 4], [1, 4, 5]].

Упражнение 9. Составьте матрицу Грама для системы [(1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1)].
Решение. G=[[3, 3, 3], [3, 3, 3], [3, 3, 3]].

Упражнение 10. Составьте матрицу Грама для системы [(1, 2), (2, 1)].
Решение. G=[[5, 4], [4, 5]].

Упражнение 11. Составьте матрицу Грама для системы [(1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3)].
Решение. G=[[1, 0, 0], [0, 4, 0], [0, 0, 9]].

Упражнение 12. Составьте матрицу Грама для системы [(2, 1), (1, -2)].
Решение. G=[[5, 0], [0, 5]].

Упражнение 13. Составьте матрицу Грама для системы [(1, 2, 3), (0, 1, 1)].
Решение. G=[[14, 5], [5, 2]].

Упражнение 14. Составьте матрицу Грама для системы [(1, -1), (2, 2)].
Решение. G=[[2, 0], [0, 8]].

Упражнение 15. Составьте матрицу Грама для системы [(0, 0), (1, 0)].
Решение. G=[[0, 0], [0, 1]].

Упражнение 16. Почему матрица Грама симметрична?
Решение. Потому что vᵢ·vⱼ=vⱼ·vᵢ.

Упражнение 17. Что стоит на диагонали G?
Решение. Квадраты норм векторов.

Упражнение 18. Что означает нулевой элемент g₁₂?

Решение. Ортогональность соответствующих ненулевых векторов.

Упражнение 19. Как выглядит G ортонормированной системы?
Решение. Единичная матрица.

Упражнение 20. Что означает det G=0?
Решение. Линейную зависимость системы.

Упражнение 21. Найдите площадь по det G=49.
Решение. Площадь равна 7.

Упражнение 22. Найдите объём по det G=144.
Решение. Объём равен 12.

Упражнение 23. Как связан rank G с рангом системы?
Решение. Они равны.

Упражнение 24. Может ли диагональный элемент быть отрицательным?
Решение. Нет, это квадрат длины.

Упражнение 25. Как вычислить cos угла по G?
Решение. gᵢⱼ/√(gᵢᵢgⱼⱼ).

Упражнение 26. Проверьте, может ли [[1,2],[2,1]] быть матрицей Грама.
Решение. Нет: det=−3, матрица не положительно полуопределена.

Упражнение 27. Может ли [[1,0],[0,0]] быть матрицей Грама?
Решение. Да, для единичного и нулевого векторов.

Упражнение 28. Как изменится det G при умножении одного вектора на k?
Решение. Умножится на k².

Упражнение 29. Как изменится G при замене v₁ на −v₁?
Решение. Первая строка и столбец вне диагонали сменят знак.

Упражнение 30. Найдите коэффициент проекции v₂ на v₁ по G.
Решение. g₁₂/g₁₁ при v₁≠0.

Упражнение 31. Для G=[[9,6],[6,4]] определите зависимость.
Решение. det=0, векторы зависимы.

Упражнение 32. Для G=[[9,0],[0,4]] найдите угол и площадь.
Решение. Угол 90°, площадь 6.

Упражнение 33. Сформулируйте критерий независимости через det G.
Решение. Система независима тогда и только тогда, когда det G>0.

Упражнение 34. Чему равен грамов определитель одного нулевого вектора?
Решение. Нулю.

Упражнение 35. Объясните G=AᵀA.
Решение. Элемент AᵀA есть скалярное произведение соответствующих столбцов A.

Упражнение 36. Для G=[[4,2],[2,9]] найдите длины и cos угла.
Решение. Длины 2 и 3, cos φ=1/3.

Упражнение 37. Вычислите cᵀGc для G=[[2,1],[1,3]], c=(1;−1).
Решение. Результат 3.

Упражнение 38. Что означает положительная определённость G?
Решение. Независимость системы и cᵀGc>0 при c≠0.

Упражнение 39. Каков ранг G для четырёх векторов с двумерной оболочкой?

Решение. Ранг 2.

Упражнение 40. Каков ранг G для трёх независимых векторов в R⁵?
Решение. Ранг 3.

Упражнение 41. Если все внедиагональные элементы нулевые, что известно?
Решение. Система попарно ортогональна.

Упражнение 42. Если G=diag(4,9,16), каковы длины?
Решение. 2, 3 и 4.

Упражнение 43. Как найти многомерный объём по G?
Решение. Взять √det G.

Упражнение 44. Можно ли единственно восстановить координаты по G?
Решение. Нет, ортогональные преобразования сохраняют G.

Упражнение 45. Выполните полный анализ G=[[4,2,0],[2,5,1],[0,1,1]].
Решение. Главные миноры 4,16,12 положительны; матрица положительно определена, ранг 3, квадрат объёма 12.

Заключение

Матрица Грама собирает все попарные скалярные произведения выбранных векторов и тем самым кодирует их длины и взаимные углы. Она симметрична, а её диагональные элементы равны квадратам длин.

Ранг матрицы Грама совпадает с рангом системы векторов, а положительный определитель свидетельствует о линейной независимости всей системы. Нулевой определитель означает наличие зависимости.

При вычислениях важно сохранять одинаковый порядок векторов в строках и столбцах, проверять симметрию и неотрицательность диагонали. Эти простые признаки позволяют быстро заметить арифметическую ошибку.