О нас 
Array
(
    [0] => Наша методика
    [1] => /about/method/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Наша методика
Array
(
    [0] => Преимущества
    [1] => /about/advantage/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Преимущества
Array
(
    [0] => Наши преподаватели
    [1] => /about/teachers/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Наши преподаватели
Array
(
    [0] => Контакты
    [1] => /about/contacts/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Контакты
Блог
Материалы 
Array
(
    [0] => Как готовиться к ЕГЭ?
    [1] => /materials/exam-prepare/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Как готовиться к ЕГЭ?
Array
(
    [0] => Учебные материалы
    [1] => /materials/learning/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Учебные материалы
Array
(
    [0] => Образовательным организациям
    [1] => /materials/partners/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Образовательным организациям
Array
(
    [0] => Пользовательское соглашение
    [1] => /materials/agreement/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Пользовательское соглашение
Справочник 
Array
(
    [0] => Арифметика
    [1] => /arithmetic/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Арифметика
Array
(
    [0] => Алгебра
    [1] => /algebra/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Алгебра
Array
(
    [0] => Планиметрия
    [1] => /planimetry/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Планиметрия
Array
(
    [0] => Информатика
    [1] => /informatics/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Информатика
Array
(
    [0] => Русский язык
    [1] => /russian/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Русский язык
Контакты
Личный кабинет
8 800 551-50-78 (бесплатно)
БЕСПЛАТНАЯ ПОДГОТОВКА К ЕГЭ ПО ПРОФИЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ
Подготовься к ЕГЭ-2026 по профильной математике самостоятельно с помощью сервиса "1С:Репетитор"!
Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Вы успеете подготовиться к экзамену! Начните занятия прямо сейчас!
design_arrow
8 800 551-50-78
Личный кабинет
1С:Репетитор – подготовка к ЕГЭ по математике
© ООО «1С-Софт» | ЧОУ ДПО «1С-ОБРАЗОВАНИЕ» | 2016–2026
8 800 551-50-78
Мы в соцсетях:
Наибольшее и наименьшее значение функции

Наибольшее и наименьшее значение функции

В алгебре один из центральных вопросов анализа функций – нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на заданном промежутке. Эта тема не только фундаментальна для понимания свойств функций, но и непосредственно встречается в заданиях ЕГЭ по математике. Умение определять экстремальные значения – важнейший навык, который востребован как при решении прикладных задач, так и при построении графиков, анализе поведения процессов, оптимизации и моделировании.

Теоретические основы

1. Основные определения

Наибольшее значение функции на промежутке – это такое значение функции, которое не меньше всех других её значений на этом промежутке.

Наименьшее значение функции на промежутке – это такое значение функции, которое не больше всех остальных её значений на этом промежутке.

Обозначения:

Обозначение

2. Правила и алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

Шаг 1. Найти область определения функции.

Шаг 2. Вычислить значения функции на концах отрезка: f(a) и f(b).

Шаг 3. Найти все внутренние точки отрезка, в которых производная функции равна нулю или не существует (критические точки):
f′(x)=0, x∈(a,b).

Шаг 4. Подставить найденные критические точки в функцию, чтобы получить соответствующие значения.

Шаг 5. Сравнить все полученные значения (на концах и в критических точках):
наибольшее – максимальное из них, наименьшее – минимальное.

3. Основные свойства

  • На отрезке непрерывная функция всегда достигает наибольшего и наименьшего значения (теорема Вейерштрасса).

  • На интервале (a, b) функция может не иметь экстремумов, если не определена или не достигает значений на концах.

  • Если функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, искать экстремумы можно также с помощью пределов на бесконечности.

4. Частные случаи

  • Для квадратичной функции (ax2+bx+ca) экстремум всегда в вершине параболы.

  • Для линейной функции (kx+b) наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах рассматриваемого промежутка.

  • Для дробно-рациональных функций важна область определения.

Алгебра–схема наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной на отрезке

Практика: связь с подготовкой к ЕГЭ

На ЕГЭ задания на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции встречаются как в базовой части (вычисление значения функции), так и в профильном уровне (анализ поведения функции, оптимизация, прикладные задачи). Обычно требуется:

  • построить алгоритм поиска экстремумов,

  • строго обосновывать выбор точек,

  • использовать знания о производной, но часто и без нее – при анализе простых функций. 

Упражнения

Упражнение 1.

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=3x2−6x+4 на отрезке [1; 4].

Решение:

Решение 1

Упражнение 2.

Для функции f(x)=−2x2+8x−7 на промежутке [0; 5] найдите наибольшее и наименьшее значения.

Решение:

Решение 2

Упражнение 3.

Найдите максимальное и минимальное значение функции Формула

Решение 3

Упражнение 4.

На отрезке [–3; 1] найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x3−3x.

Решение:

Решение 4

Упражнение 5.

Для функции f(x)=∣2x−4∣ на отрезке [1; 5] найдите наибольшее и наименьшее значения.

Решение:

Решение 5

Практические советы для ЕГЭ

  • Всегда проверяйте область определения функции! Часто на ЕГЭ встречаются функции с ограничениями.

  • Не забывайте подставлять в функцию значения на концах отрезка и все критические точки! Наибольшее и наименьшее значения могут быть только там.

  • Тщательно анализируйте задачи на модули, дроби и корни. Такие функции требуют особого внимания к области определения и возможным точкам разрыва.

  • Четко обосновывайте все свои действия в письменном виде. Эксперт оценивает не только ответ, но и логику решения.

  • Регулярно тренируйтесь на функциях разных видов: квадратичных, модульных, рациональных, чтобы чувствовать себя уверенно на экзамене. 

Итоги

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции – один из ключевых разделов алгебры, неотъемлемая часть подготовки к ЕГЭ по математике. Грамотное овладение этим материалом обеспечивает не только успешное выполнение заданий, но и развитие логического мышления, аналитических способностей и уверенность в математических рассуждениях. Каждый абитуриент должен владеть чётким алгоритмом действий и понимать основные типовые ошибки, чтобы минимизировать их на экзамене.


< Назад к списку