Обратные тригонометрические функции

Обычная тригонометрическая функция каждому допустимому аргументу ставит в соответствие число. Обратная функция решает противоположную задачу: по известному значению синуса, косинуса, тангенса или котангенса она восстанавливает единственный угол из заранее выбранного промежутка.

Периодичность создаёт основную трудность. Одно и то же значение синуса или косинуса повторяется при бесконечном множестве углов, поэтому без ограничения исходной функции обратная зависимость не была бы однозначной. Для каждого случая выбирают промежуток, на котором исходный график строго монотонен и принимает все необходимые значения.

График обратной функции получают отражением подходящей ветви исходного графика относительно прямой y = x. При таком отражении область определения и область значений меняются местами, а точки (a; b) переходят в точки (b; a). Этот принцип объединяет все четыре обратные тригонометрические функции.

Как возникает обратная тригонометрическая функция

Чтобы функция имела обратную, разным аргументам должны соответствовать разные значения. На всей числовой прямой ни синус, ни косинус, ни тангенс, ни котангенс этому условию не удовлетворяют. Поэтому исходную функцию сужают до промежутка, где она строго возрастает или строго убывает.

Для синуса выбирают отрезок [−π/2; π/2], для косинуса — [0; π], для тангенса — интервал (−π/2; π/2), для котангенса — интервал (0; π). Именно эти части исходных графиков после отражения относительно y = x превращаются в графики арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица 1. Ограничения исходных функций и обратные зависимости

Например, arcsin(1/2) = π/6, хотя синус равен 1/2 и при других углах. Функция arcsin выбирает именно π/6, потому что это значение принадлежит установленному промежутку [−π/2; π/2].

Отражение относительно прямой y = x

При переходе к обратной функции координаты каждой точки меняются местами. Если точка (π/6; 1/2) лежит на выбранной ветви синуса, то точка (1/2; π/6) принадлежит графику арксинуса. Аналогично из cos π = −1 получается arccos(−1) = π.

Арксинус и его график

Функция y = arcsin x определена при −1 ≤ x ≤ 1 и принимает значения от −π/2 до π/2. Она строго возрастает: большему значению синуса на выбранной ветви соответствует больший угол. График проходит через точки (−1; −π/2), (0; 0), (1; π/2).

Арксинус является нечётной функцией: arcsin(−x) = −arcsin x. Поэтому его график симметричен относительно начала координат. На концах области определения линия становится почти вертикальной, однако остаётся непрерывной на всём отрезке [−1; 1].

Арккосинус и его график

Функция y = arccos x также определена на отрезке [−1; 1], но её значения лежат в промежутке [0; π]. Она строго убывает, поскольку косинус на выбранном отрезке [0; π] уменьшается от 1 до −1. Опорные точки: (1; 0), (0; π/2), (−1; π).

Арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией. Для отрицательного аргумента действует соотношение arccos(−x) = π − arccos x. График обладает центральной симметрией относительно точки (0; π/2).

Таблица 2. Сравнение арксинуса и арккосинуса

Арктангенс и его график

Функция y = arctg x определена для любого действительного x. Её значения находятся строго между −π/2 и π/2. Арктангенс возрастает на всей числовой прямой, проходит через начало координат и является нечётной функцией: arctg(−x) = −arctg x.

При больших положительных x значения arctg x приближаются к π/2, а при больших отрицательных x — к −π/2. Поэтому прямые y = π/2 и y = −π/2 являются горизонтальными асимптотами графика, но сама функция этих значений не достигает.

Арккотангенс и его график

В школьной традиции функцию y = arcctg x определяют на всей числовой прямой со значениями в интервале (0; π). Она строго убывает: при увеличении x соответствующий угол уменьшается. График проходит через точку (0; π/2).

При x, стремящемся к плюс бесконечности, arcctg x приближается к нулю, а при x, стремящемся к минус бесконечности, — к π. Поэтому горизонтальными асимптотами служат y = 0 и y = π. Выполняется равенство arcctg(−x) = π − arcctg x.

Таблица 3. Сравнение арктангенса и арккотангенса

Алгоритм вычисления значения

• Определить, какая обратная тригонометрическая функция дана.
• Записать её допустимый промежуток значений.
• Найти угол, тригонометрическое значение которого совпадает с аргументом.
• Проверить, принадлежит ли найденный угол требуемому промежутку.
• При необходимости заменить сонаправленный угол на равный по функции угол из нужного промежутка.
• Записать ответ в радианах и проверить его подстановкой в исходную тригонометрическую функцию.

Основные тождества и взаимосвязи

Обратная тригонометрическая функция отменяет действие исходной функции только при соблюдении ограничений. Равенства sin(arcsin x) = x и cos(arccos x) = x верны для всех x из [−1; 1]. Аналогично tg(arctg x) = x и ctg(arcctg x) = x выполняются при любом действительном x.

Обратная композиция требует внимательности. Равенство arcsin(sin x) = x справедливо лишь при x ∈ [−π/2; π/2]. Если угол находится вне этого промежутка, функция возвращает другой угол с тем же синусом, но принадлежащий области значений арксинуса. Такое же ограничение существует для arccos(cos x), arctg(tg x) и arcctg(ctg x).

Таблица 4. Тождества, условия и преобразования графиков

Преобразования графиков

Общие правила переноса и масштабирования сохраняются. В записи y = A·F(B(x − m)) + n число m задаёт горизонтальный перенос, n — вертикальный, A изменяет вертикальный масштаб и при отрицательном знаке отражает график относительно Ox, а B влияет на горизонтальное растяжение или сжатие.

У функций arcsin и arccos после преобразования аргумента особенно важно заново определить область допустимых x. Например, для y = arcsin(2x − 1) требуется −1 ≤ 2x − 1 ≤ 1, откуда 0 ≤ x ≤ 1. Для arctg и arcctg подобных ограничений аргумента обычно нет.

Мини-шпаргалка по теме

• arcsin x определён на [−1; 1], принимает значения из [−π/2; π/2] и возрастает.
• arccos x определён на [−1; 1], принимает значения из [0; π] и убывает.
• arctg x определён при любом x, возрастает и имеет асимптоты y = ±π/2.
• arcctg x определён при любом x, убывает и имеет асимптоты y = 0 и y = π.
• График обратной функции получается отражением выбранной ветви исходной функции относительно y = x.
• arcsin x + arccos x = π/2, а arctg x + arcctg x = π/2.
• При вычислении нужно не только найти подходящий угол, но и проверить его принадлежность установленному промежутку.
• Композиции вида arcsin(sin x) нельзя упрощать без проверки значения x.

Типичные ошибки и способы их предупреждения

Ошибка 1. Арксинус принимают за величину, обратную синусу в смысле дроби, и записывают arcsin x = 1/sin x. Это неверно: arcsin — функция, возвращающая угол, тогда как 1/sin x является косекансом.

Ошибка 2. Забывают область определения arcsin и arccos. Выражения arcsin 2 и arccos(−3) не имеют действительных значений, потому что числа 2 и −3 не лежат в отрезке [−1; 1].

Ошибка 3. Выбирают правильный по тригонометрическому значению, но недопустимый угол. Например, для arcsin(−1/2) нельзя записать 7π/6: искомый ответ должен принадлежать [−π/2; π/2], поэтому верно −π/6.

Ошибка 4. Автоматически сокращают обратные функции в композициях. Значение arccos(cos 5π/3) не равно 5π/3, поскольку этот угол не принадлежит [0; π]. Косинус равен 1/2, следовательно результатом будет π/3.

Ошибка 5. Путают направления графиков. Арксинус и арктангенс возрастают, а арккосинус и арккотангенс убывают. Полезно связывать направление с монотонностью выбранной ветви исходной функции.

Образцы краткого решения

Образец 1. arcsin(√3/2). На отрезке [−π/2; π/2] синус равен √3/2 при угле π/3. Следовательно, arcsin(√3/2) = π/3.

Образец 2. arccos(−1/2). На отрезке [0; π] косинус равен −1/2 при угле 2π/3. Поэтому arccos(−1/2) = 2π/3.

Образец 3. arctg(−1). В интервале (−π/2; π/2) тангенс равен −1 при угле −π/4. Значит, arctg(−1) = −π/4.

Образец 4. arcsin(sin 5π/6). Сначала sin 5π/6 = 1/2. Затем arcsin(1/2) = π/6. Исходный угол заменяется равным по синусу углом из области значений арксинуса.

Сорок пять практических упражнений

Задания переходят от чтения определений и вычисления табличных значений к анализу композиций, областей определения, тождеств и преобразований графиков. После каждого упражнения дано решение для самопроверки.

Упражнение 1. Запишите область определения функции y = arcsin x.
Решение. Отрезок [−1; 1].

Упражнение 2. Запишите область значений функции y = arcsin x.
Решение. Отрезок [−π/2; π/2].

Упражнение 3. Возрастает или убывает y = arccos x?
Решение. Функция строго убывает на [−1; 1].

Упражнение 4. Назовите область значений y = arccos x.
Решение. Отрезок [0; π].

Упражнение 5. Чему равен arcsin 0?
Решение. Нулю, потому что sin 0 = 0 и 0 принадлежит нужному промежутку.

Упражнение 6. Чему равен arccos 1?
Решение. Нулю, поскольку cos 0 = 1.

Упражнение 7. Вычислите arcsin 1.
Решение. π/2.

Упражнение 8. Вычислите arcsin(−1).
Решение. −π/2.

Упражнение 9. Вычислите arccos 0.
Решение. π/2.

Упражнение 10. Вычислите arccos(−1).
Решение. π.

Упражнение 11. Вычислите arcsin(1/2).
Решение. π/6.

Упражнение 12. Вычислите arcsin(−√2/2).
Решение. −π/4.

Упражнение 13. Вычислите arccos(√2/2).
Решение. π/4.

Упражнение 14. Вычислите arccos(−√3/2).
Решение. 5π/6.

Упражнение 15. Запишите область определения y = arctg x.
Решение. Все действительные числа.

Упражнение 16. Запишите область значений y = arctg x.
Решение. Интервал (−π/2; π/2).

Упражнение 17. Вычислите arctg 0.
Решение. 0.

Упражнение 18. Вычислите arctg 1.
Решение. π/4.

Упражнение 19. Вычислите arctg(−√3).
Решение. −π/3.

Упражнение 20. Запишите область значений y = arcctg x.
Решение. Интервал (0; π).

Упражнение 21. Вычислите arcctg 0.
Решение. π/2.

Упражнение 22. Вычислите arcctg 1.
Решение. π/4.

Упражнение 23. Вычислите arcctg(−1).
Решение. 3π/4, потому что ctg(3π/4)=−1 и угол принадлежит (0; π).

Упражнение 24. Вычислите arcctg(√3).
Решение. π/6.

Упражнение 25. Определите чётность функции y = arcsin x.
Решение. Функция нечётная: arcsin(−x)=−arcsin x.

Упражнение 26. Определите чётность функции y = arctg x.
Решение. Функция нечётная.

Упражнение 27. Укажите горизонтальные асимптоты y = arctg x.

Решение. y = π/2 и y = −π/2.

Упражнение 28. Укажите горизонтальные асимптоты y = arcctg x.
Решение. y = 0 и y = π.

Упражнение 29. Вычислите sin(arcsin 0,4).
Решение. 0,4.

Упражнение 30. Вычислите cos(arccos(−0,7)).
Решение. −0,7.

Упражнение 31. Вычислите tg(arctg 5).
Решение. 5.

Упражнение 32. Вычислите ctg(arcctg(−2)).
Решение. −2.

Упражнение 33. Вычислите arcsin(sin π/4).
Решение. π/4, так как исходный угол принадлежит [−π/2; π/2].

Упражнение 34. Вычислите arcsin(sin 3π/4).
Решение. π/4, потому что sin 3π/4 = √2/2.

Упражнение 35. Вычислите arccos(cos 5π/3).
Решение. π/3, так как cos 5π/3 = 1/2.

Упражнение 36. Вычислите arctg(tg 3π/4).
Решение. −π/4, поскольку tg 3π/4 = −1, а ответ должен лежать в (−π/2; π/2).

Упражнение 37. Упростите arcsin x + arccos x при x ∈ [−1; 1].
Решение. Сумма равна π/2.

Упражнение 38. Упростите arctg x + arcctg x.
Решение. Сумма равна π/2 при любом действительном x.

Упражнение 39. Найдите область определения y = arcsin(2x).
Решение. −1 ≤ 2x ≤ 1, поэтому −1/2 ≤ x ≤ 1/2.

Упражнение 40. Найдите область определения y = arccos(x − 3).
Решение. −1 ≤ x−3 ≤ 1, следовательно 2 ≤ x ≤ 4.

Упражнение 41. Опишите перенос графика y = arcsin(x + 2).
Решение. График y = arcsin x сдвинут влево на 2 единицы; область определения [−3; −1].

Упражнение 42. Опишите график y = arccos x + 1.
Решение. График y = arccos x поднят вверх на 1; область значений [1; π+1].

Упражнение 43. Опишите график y = −arctg x.
Решение. Это отражение графика y = arctg x относительно оси Ox; из нечётности функция совпадает с y = arctg(−x).

Упражнение 44. Решите уравнение arcsin x = π/6.
Решение. x = sin π/6 = 1/2.

Упражнение 45. Решите уравнение arccos(2x−1)=π/3.
Решение. 2x−1 = cos π/3 = 1/2; 2x = 3/2; x = 3/4. Значение допустимо.

Заключение

Обратные тригонометрические функции позволяют по известному тригонометрическому значению определить единственный угол из установленного промежутка. Ограничение синуса, косинуса, тангенса и котангенса устраняет многозначность, а отражение соответствующей ветви относительно прямой y = x объясняет форму каждого нового графика.

Арксинус и арккосинус имеют ограниченную область определения [−1; 1]. Арктангенс и арккотангенс определены для всех действительных аргументов, но обладают горизонтальными асимптотами. Различия в монотонности, симметрии и диапазонах значений помогают быстро проверять вычисления.

Надёжный способ решения состоит в трёх действиях: найти угол с нужным тригонометрическим значением, проверить установленный промежуток и подтвердить результат подстановкой. Такой подход предотвращает ошибки в табличных значениях, композициях, уравнениях и преобразованиях графиков.