Периодическая функция

Многие процессы повторяются через равные промежутки: сменяются времена года, вращается стрелка часов, колеблется маятник, чередуются максимумы и минимумы звуковой волны. В математике такое повторение описывают периодическими функциями. Их главное свойство состоит в том, что после определённого изменения аргумента значение функции возвращается к прежнему.

Периодичность нельзя устанавливать только по внешнему сходству нескольких участков графика. Требуется число T, при прибавлении которого к любому допустимому аргументу сохраняется значение функции. Поэтому математическое доказательство опирается не на отдельные точки, а на тождество, верное во всей области определения.

Тема особенно важна при работе с тригонометрическими выражениями. Синус и косинус повторяются через 2π, тангенс и котангенс — через π, однако коэффициент перед x изменяет длину повторяющегося участка. Последовательный алгоритм помогает не путать найденный период с основным, учитывать область определения и правильно читать график.

Что называют периодической функцией

Функцию f называют периодической, если существует такое ненулевое число T, что для каждого x из области определения одновременно допустимо число x + T и выполняется равенство f(x + T) = f(x). Обычно рассматривают положительный период, поскольку отрицательное направление повторения получается автоматически.

f(x + T) = f(x),   T ≠ 0

Число T показывает длину горизонтального переноса, после которого график полностью совмещается сам с собой. Если T является периодом, то периодами будут также −T, 2T, −2T и вообще nT для любого ненулевого целого n. Однако не каждое из этих чисел является самым коротким шагом повторения.

Наименьший положительный период, если он существует, называют основным периодом. Например, у функции y = sin x основным периодом служит 2π. Число 4π тоже является периодом, но оно не наименьшее. У постоянной функции любое ненулевое число является периодом, поэтому наименьшего положительного периода нет.

Таблица 1. Основные понятия темы
 

Запись f(x + T) = f(x) следует понимать как универсальное условие. Совпадение значений при одном или двух выбранных аргументах ещё ничего не доказывает. Необходимо показать, что равенство сохраняется независимо от конкретного x.

Как проверить функцию на периодичность

Исследование удобно начинать с предполагаемого периода. Его можно увидеть по известной формуле, получить из графика или подобрать после преобразования выражения. Затем число подставляют вместо T и упрощают f(x + T). Если результат тождественно совпадает с f(x), период найден.

Алгоритм доказательства

• Записать область определения и убедиться, что сдвиг на предполагаемый период не выводит аргумент за её пределы.
• Выбрать число T > 0, которое может соответствовать повторению графика или известному периоду базовой функции.
• Вычислить f(x + T), аккуратно раскрыв скобки и применив свойства выражений.
• Сравнить полученный результат с f(x) для произвольного допустимого x.
• Если требуется основной период, отдельно исключить все меньшие положительные варианты.

Таблица 2. Проверка периодичности на простых примерах
 

Для функции f(x) = cos 3x число 2π тоже является периодом, потому что оно кратно основному периоду. Но ответ «2π» будет неполным, если задача требует именно наименьший положительный период. Поэтому после доказательства периодичности нужно внимательно прочитать формулировку задания.

Непостоянный многочлен на всей числовой прямой периодическим быть не может. Его значения при больших по модулю аргументах не повторяются через фиксированный шаг. В частности, линейная функция y = ax + b при a ≠ 0 не имеет периода.

Свойства периодических функций

Периодическая функция переносит один и тот же фрагмент поведения на всю область определения. Зная её значения на любом промежутке длины T, можно восстановить значения на остальных участках с помощью сдвигов на целое число периодов. Именно поэтому один повторяющийся отрезок графика часто называют базовым фрагментом.

Периодичность сама по себе не означает непрерывность, чётность или нечётность. Например, дробная часть числа имеет период 1, но её график содержит скачки. Вместе с тем непрерывная периодическая функция, заданная на всей числовой прямой, ограничена: на одном замкнутом периоде она достигает максимума и минимума, а затем эти значения повторяются.

Таблица 3. Полезные свойства и ограничения
 

Период суммы и произведения

Если функции имеют периоды T₁ и T₂, общий период ищут как положительное число, которое является целым кратным каждого из них. Для периодов π и π/2 общим периодом будет π. Для периодов 2 и 3 — число 6. Однако общий период не всегда совпадает с основным: дополнительные сокращения выражения могут уменьшить шаг повторения.

Если отношение T₁/T₂ иррационально, общего положительного кратного нет. Поэтому сумма sin x + sin(√2x) не является периодической: периоды её слагаемых 2π и 2π/√2 несоизмеримы.

Периоды тригонометрических функций

Базовые тригонометрические функции дают главные образцы периодичности. Синус и косинус повторяются через полный оборот 2π. Тангенс и котангенс повторяются уже через π, поскольку их значения определяются отношением синуса и косинуса и сохраняются после одновременной смены знаков числителя и знаменателя.

Для выражения вида sin(kx + b) или cos(kx + b) основной период равен 2π/|k|. Для tan(kx + b) и cot(kx + b) он равен π/|k|. Число b отвечает только за горизонтальный сдвиг и не изменяет длину повторения. Модуль коэффициента нужен потому, что направление изменения аргумента не влияет на длину периода.

Таблица 4. Формулы для нахождения основного периода
 

Почему модуль и квадрат уменьшают период

После сдвига аргумента синуса на π знак меняется: sin(x + π) = −sin x. Модуль уничтожает этот знак, поэтому |sin(x + π)| = |sin x|. Аналогично квадрат делает противоположные значения равными: (−sin x)² = sin²x. В результате основной период уменьшается с 2π до π.

При сложных выражениях полезно сначала определить периоды отдельных слагаемых, затем найти общий период и только после этого проверить, нельзя ли его уменьшить. Формальное сложение или умножение периодов неверно.

Мини-шпаргалка по теме

• Период T должен удовлетворять равенству f(x + T) = f(x) для каждого допустимого x.
• Если T является периодом, то nT также является периодом при любом ненулевом целом n.
• Основной период — наименьший положительный период; он существует не у каждой периодической функции.
• У sin x и cos x основной период равен 2π, у tan x и cot x — π.
• В выражении f(kx + b) исходный период делят на |k|; число b на период не влияет.
• Для суммы функций ищут общий период, а не складывают периоды.
• По графику период измеряют как горизонтальное расстояние между одинаковыми повторяющимися фрагментами.
• Область определения проверяют обязательно: после сдвига допустимые точки должны оставаться допустимыми.

Типичные ошибки и способы их предупреждения

Ошибка 1. Равенство проверяют в одной точке. Совпадение f(0) и f(T) не доказывает периодичность. Нужно преобразовать f(x + T) и получить f(x) для произвольного x.

Ошибка 2. Любой найденный период называют основным. Число 4π подходит для sin x, но наименьшим остаётся 2π. После нахождения периода следует проверить возможность уменьшения.

Ошибка 3. Забывают коэффициент при x. У sin 4x период не 2π, а 2π/4 = π/2. Коэффициент перед аргументом отвечает за горизонтальное сжатие графика.

Ошибка 4. Периоды слагаемых складывают. Для sin x + sin 2x число 2π + π = 3π не является правилом. Нужно найти число, кратное обоим периодам; здесь подходит 2π.

Ошибка 5. Не учитывают область определения. Для tan x сдвиг на π сохраняет все запрещённые точки, поэтому период корректен. Случайный сдвиг может перенести допустимое значение в точку разрыва.

Как находить период по графику

На графике выбирают хорошо различимый элемент: вершину, минимум, участок возрастания, точку разрыва или целую характерную дугу. Затем находят ближайший справа такой же элемент с тем же направлением движения. Горизонтальное расстояние между ними даёт предполагаемый основной период.

Одних нулей недостаточно. Например, соседние нули sin x расположены через π, но знак функции между ними меняется, поэтому полный график повторяется через 2π. Нужно сравнивать не отдельную координату, а форму и значения всего участка.

Образцы краткого разбора

Образец 1. y = cos(3x − 5). Базовый период косинуса равен 2π. Коэффициент при x равен 3, поэтому T₀ = 2π/3. Сдвиг −5 влияет на положение графика, но не на период.

Образец 2. y = |sin 2x|. У модуля синуса базовый период π. После учёта коэффициента 2 получаем T₀ = π/2.

Образец 3. y = sin x + cos x. Оба слагаемых имеют период 2π, поэтому 2π является общим периодом. Преобразование √2 sin(x + π/4) показывает, что меньшего положительного периода нет.

Образец 4. y = sin x + sin(√2x). Периоды слагаемых равны 2π и 2π/√2. Их отношение √2 иррационально, общего кратного нет, следовательно, сумма не периодична.

Сорок пять практических упражнений

Задания расположены от прямого применения формул к анализу сумм, графиков и свойств. После каждого упражнения дано решение, поэтому материал подходит для самостоятельной проверки.

Упражнение 1. Найдите основной период функции y = sin x.
Решение. Базовый период синуса равен 2π.

Упражнение 2. Найдите основной период y = cos 3x.
Решение. T₀ = 2π/|3| = 2π/3.

Упражнение 3. Определите основной период y = tan 2x.
Решение. Для тангенса T₀ = π/|2| = π/2.

Упражнение 4. Найдите период y = |sin x|.
Решение. Модуль устраняет смену знака через π, поэтому T₀ = π.

Упражнение 5. Найдите период y = sin²x.
Решение. Квадрат синуса повторяется через π: T₀ = π.

Упражнение 6. Определите основной период y = cos(x/4 − 1).
Решение. Коэффициент при x равен 1/4, поэтому T₀ = 2π/(1/4) = 8π.

Упражнение 7. Найдите период y = tan(5x + 2).
Решение. T₀ = π/5; сдвиг +2 периода не меняет.

Упражнение 8. Является ли функция f(x) = 6 периодической?
Решение. Да. Любое T ≠ 0 является периодом, но наименьшего положительного периода нет.

Упражнение 9. Является ли y = 2x − 3 периодической?
Решение. Нет. f(x + T) = 2x + 2T − 3 совпадает с f(x) только при T = 0.

Упражнение 10. Периодична ли функция y = x²?
Решение. Нет. Равенство (x + T)² = x² не выполняется для всех x при ненулевом T.

Упражнение 11. Найдите период y = 4 + sin x.
Решение. Вертикальный сдвиг не меняет период: T₀ = 2π.

Упражнение 12. Найдите период y = sin(x − π/7).
Решение. Горизонтальный сдвиг не меняет период: T₀ = 2π.

Упражнение 13. Найдите основной период y = cos 2x + sin 2x.
Решение. Оба слагаемых имеют период π; сумма преобразуется в синусоиду с тем же основным периодом π.

Упражнение 14. Найдите основной период y = sin x + cos x.
Решение. Оба слагаемых имеют период 2π; выражение равно √2 sin(x + π/4), поэтому T₀ = 2π.

Упражнение 15. Найдите период y = sin x + sin 2x.
Решение. Периоды слагаемых 2π и π. Наименьший общий период равен 2π.

Упражнение 16. Найдите период y = cos 2x + cos 3x.
Решение. Периоды π и 2π/3. Наименьшее общее кратное равно 2π.

Упражнение 17. Найдите основной период y = sin 2x + cos 4x.
Решение. Периоды слагаемых π и π/2; общий период π, и уменьшить его нельзя из-за слагаемого sin 2x.

Упражнение 18. Периодична ли y = sin x + sin(√2x)?
Решение. Нет. Отношение периодов равно √2, то есть иррационально; общего периода нет.

Упражнение 19. Определите период функции f(x) = {x}, где {x} — дробная часть числа.
Решение. f(x + 1) = {x + 1} = {x}; основной период равен 1.

Упражнение 20. Является ли функция f(x) = ⌊x⌋ периодической?
Решение. Нет. При увеличении x на целое число значение функции увеличивается, а не повторяется.

Упражнение 21. Найдите период f(x) = x − ⌊x⌋.
Решение. Это дробная часть числа, поэтому основной период равен 1.

Упражнение 22. Обязана ли периодическая функция быть чётной или нечётной?
Решение. Нет. Периодичность и симметрия относительно осей — разные свойства.

Упражнение 23. Докажите, что если T — период, то 3T также период.
Решение. f(x + 3T) = f((x + 2T) + T) = f(x + 2T) = f(x + T) = f(x).

Упражнение 24. Докажите, что если T — период, то −T тоже период.
Решение. Из f((x − T) + T) = f(x − T) получаем f(x) = f(x − T).

Упражнение 25. График полностью повторяется через 4 единицы. Какой вывод можно сделать?
Решение. Число 4 является периодом. Основным оно будет, если меньшего положительного повторения нет.

Упражнение 26. Максимумы одинаковой формы расположены при x = 1, 5, 9. Найдите предполагаемый период.
Решение. Расстояние между соседними максимумами равно 4, поэтому предполагаемый период T = 4.

Упражнение 27. Соседние нули графика находятся через π. Можно ли сразу назвать π периодом?
Решение. Нет. Нужно сравнить значения и форму между нулями; у sin x основной период равен 2π.

Упражнение 28. Найдите основной период y = cos(πx).
Решение. T₀ = 2π/π = 2.

Упражнение 29. Найдите основной период y = sin(πx/3).
Решение. Коэффициент k = π/3, поэтому T₀ = 2π/(π/3) = 6.

Упражнение 30. Найдите основной период y = cos(4πx).
Решение. T₀ = 2π/(4π) = 1/2.

Упражнение 31. Найдите период y = tan(πx/2).
Решение. T₀ = π/(π/2) = 2.

Упражнение 32. Найдите основной период y = |cos(πx)|.
Решение. Для |cos u| базовый период π, поэтому T₀ = π/π = 1.

Упражнение 33. Найдите основной период y = sin²(3x).
Решение. Для sin²u базовый период π; T₀ = π/3.

Упражнение 34. Найдите основной период y = cos²(x/2).
Решение. T₀ = π/(1/2) = 2π.

Упражнение 35. Найдите период y = sin x · cos x.
Решение. По формуле sin x cos x = 1/2 sin 2x, поэтому T₀ = π.

Упражнение 36. Если f дифференцируема и имеет период T, что можно сказать о f′?
Решение. После дифференцирования f(x + T) = f(x) получаем f′(x + T) = f′(x); T является периодом производной.

Упражнение 37. Как изменяется интеграл периодической функции по промежутку длины T?
Решение. Интеграл по любому отрезку длины T одинаков: ∫[a,a+T]f(x)dx не зависит от a.

Упражнение 38. Если T — основной период f, какой период имеет g(x) = f(x) + 3?
Решение. Вертикальный сдвиг сохраняет период T.

Упражнение 39. Если f имеет период T, какой период имеет g(x) = f(2x)?
Решение. Число T/2 является периодом g; при обычных условиях основной период уменьшается вдвое.

Упражнение 40. Какой период имеет g(x) = f(−x), если f имеет основной период T?
Решение. Отражение относительно оси Oy сохраняет длину периода T.

Упражнение 41. Функции имеют периоды 2 и 3. Назовите гарантированный общий период их суммы.
Решение. Число 6 является общим периодом. Основной период суммы может оказаться меньше и требует проверки.

Упражнение 42. Периоды функций равны 2 и √2. Есть ли гарантированный общий период?
Решение. Нет. Их отношение иррационально, поэтому общего целого кратного нет.

Упражнение 43. Почему у постоянной функции нет основного периода?
Решение. Каждое положительное число является периодом, а среди всех положительных чисел нет наименьшего.

Упражнение 44. Исправьте рассуждение: «У tan x период 2π, потому что это полный оборот».
Решение. 2π действительно период, но не основной. Тангенс повторяется уже через π.

Упражнение 45. Выполните полный анализ y = 3sin(4x − 1) − 2.
Решение. Амплитуда 3 и вертикальный сдвиг −2 периода не меняют; коэффициент 4 даёт T₀ = 2π/4 = π/2.

Заключение

Периодическая функция повторяет свои значения после постоянного сдвига аргумента. Точное условие f(x + T) = f(x) должно выполняться для всех допустимых x, поэтому проверка отдельных точек не заменяет доказательства. Число T называют периодом, а его наименьшее положительное значение — основным периодом, если такое значение существует.

При работе с тригонометрическими формулами исходный период делят на модуль коэффициента при x. Сдвиги графика вверх, вниз, вправо или влево длину периода не меняют. Для суммы функций необходимо находить общий период и учитывать соизмеримость периодов слагаемых.

Надёжный способ самопроверки состоит из трёх действий: определить область допустимых значений, вычислить f(x + T) и убедиться в тождественном совпадении с f(x). Такой подход позволяет правильно читать графики, различать период и основной период и избегать формального применения формул.