О нас 
Array
(
    [0] => Наша методика
    [1] => /about/method/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Наша методика
Array
(
    [0] => Преимущества
    [1] => /about/advantage/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Преимущества
Array
(
    [0] => Наши преподаватели
    [1] => /about/teachers/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Наши преподаватели
Array
(
    [0] => Контакты
    [1] => /about/contacts/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Контакты
Блог
Материалы 
Array
(
    [0] => Как готовиться к ЕГЭ?
    [1] => /materials/exam-prepare/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Как готовиться к ЕГЭ?
Array
(
    [0] => Учебные материалы
    [1] => /materials/learning/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Учебные материалы
Array
(
    [0] => Образовательным организациям
    [1] => /materials/partners/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Образовательным организациям
Array
(
    [0] => Пользовательское соглашение
    [1] => /materials/agreement/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Пользовательское соглашение
Справочник 
Array
(
    [0] => Арифметика
    [1] => /arithmetic/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Арифметика
Array
(
    [0] => Алгебра
    [1] => /algebra/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Алгебра
Array
(
    [0] => Планиметрия
    [1] => /planimetry/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Планиметрия
Array
(
    [0] => Информатика
    [1] => /informatics/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Информатика
Array
(
    [0] => Русский язык
    [1] => /russian/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Русский язык
Контакты
Личный кабинет
8 800 551-50-78 (бесплатно)
БЕСПЛАТНАЯ ПОДГОТОВКА К ЕГЭ ПО ПРОФИЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ
Подготовься к ЕГЭ-2026 по профильной математике самостоятельно с помощью сервиса "1С:Репетитор"!
Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Вы успеете подготовиться к экзамену! Начните занятия прямо сейчас!
design_arrow
8 800 551-50-78
Личный кабинет
1С:Репетитор – подготовка к ЕГЭ по математике
© ООО «1С-Софт» | ЧОУ ДПО «1С-ОБРАЗОВАНИЕ» | 2016–2026
8 800 551-50-78
Мы в соцсетях:
Преобразование алгебраических выражений

Преобразование алгебраических выражений

Под преобразованием алгебраических выражений понимают тождественные (верные для всех допустимых значений переменных) переходы от одной формы записи выражения к другой, более удобной для вычислений, сравнения, решения уравнений/неравенств и анализа функций. На ЕГЭ это требуется практически в каждом разделе: упрощение дробно-рациональных выражений, рационализация корней, разложение многочленов, приведение к общему знаменателю, оценка выражений, подготовка к взятию производных и исследованию функций.

Ключевые компетенции для экзамена:

  • знание базовых тождеств и законов (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность);
  • владение формулами сокращённого умножения и методами факторизации;
  • умение работать с дробно-рациональными и радикальными выражениями с учётом области допустимых значений (ОДЗ);
  • грамотное оформление преобразований (отдельной строкой указывать ОДЗ и запреты на знаменатели).

Базовые определения и язык записи

Алгебраическое выражение – результат конечного применения четырёх арифметических действий, возведения в степень с рациональным показателем, извлечения корней и операций со скобками к переменным и числам.

Тождество – равенство, верное при всех значениях переменных из ОДЗ.
Эквивалентные преобразования – шаги, не меняющие множество допустимых значений, либо корректно учитывающие ограничения (например, сокращение дроби при условии «сокращаемый множитель ≠ 0»).

Область допустимых значений (ОДЗ):

  • знаменатели ≠ 0;
  • подкоренные выражения при чётных корнях ≥ 0;
  • аргументы логарифмов > 0 (если логарифмы используются).

Фундаментальные алгебраические законы

Для всех допустимых переменных a, b, c справедливы:
Фундаментальные алгебраические законы

Формулы сокращённого умножения (ядро большинства преобразований)
Формулы сокращённого умножения (ядро большинства преобразований)

Методы факторизации (разложения на множители)

  1. Вынесение общего множителя

    Если каждый член многочлена содержит общий множитель M, то

    Методы факторизации (разложения на множители) 1. Вынесение общего множителя

  2. Группировка

    Группируем члены так, чтобы в каждой группе появился общий множитель:

  3. Классические шаблоны
    Классические шаблоны

  4. Завершение квадрата
    Завершение квадрата

Дробно-рациональные выражения: правила и ОДЗ

Приведение к общему знаменателю:
Дробно-рациональные выражения: правила и ОДЗ Приведение к общему знаменателю:

Радикалы и рационализация
Дробно-рациональные выражения: правила и ОДЗ Радикалы и рационализация

Информатика–таблица правил преобразования алгебраических выражений

Техники упрощения перед анализом функций

При исследовании функции (монотонность/экстремумы) часто выгодно:

  • сократить общий множитель числителя и знаменателя (не забыв ОДЗ);
  • вынести множитель, чтобы упростить производную;
  • рационализовать выражение (например, «снять корень» в дроби);
  • перейти к новой переменной для упростившегося многочлена или тригонометрического шаблона.

Типичные ошибки и как их избежать (памятка ЕГЭ)

  1. Сокращение на нуль: перед сокращением убедитесь, что сокращаемый множитель ≠0.
  2. Потеря ОДЗ при рационализации/сокращении. В ответе обязательно дописывать ограничения.
  3. Неверное применение формул: (a−b)2≠a2−b2.
  4. Пропуск общего множителя (ненужное усложнение выражения и производной).
  5. Отсутствие финальной проверки: можно ли ещё упростить, и не изменилось ли ОДЗ.

Практика (5 упражнений с разбором)

Упражнение 1. Полное размножение многочлена
Разложите на множители

Упражнение 2. Дробно-рациональное выражение ОДЗ
Упростите с указанием ОДЗ

Упражнение 3. Рационализация радикалов
Упростите выражение и укажите ОДЗ

Упражнение 4. Работа с формулами кубов и учет ограничений 
Упростите

Упражнение 5. Комплексная дробь и разложение результата
Упростите выражение, найдите ОДЗ, при необходимости найтите результат

Приёмы ускорения на ЕГЭ (короткая шпаргалка)

  • Сначала – ОДЗ. Всегда!
  • Ищите общий множитель и формулы: это сокращает выражения и производные.
  • Радикалы – через сопряжение; дроби – через общий знаменатель.
  • Сомневаетесь – попробуйте завершение квадрата или подстановку t.
  • В конце – финальная упрощённая форма + напоминание об ОДЗ/исключениях.

Итог

Преобразования алгебраических выражений – базовый «язык» решения задач ЕГЭ. Владение формулами, методами факторизации, рационализацией и корректной работой с ОДЗ обеспечивает компактные и надёжные решения, облегчает последующий анализ функций (монотонность, экстремумы) и сокращает вероятность технических ошибок на экзамене.


< Назад к списку