Решение квадратных уравнений

1) Узнаете необходимые основы для решения квадратных уравнений.

2) Рассмотрите примеры.

3) Сделаете выводы по теме.

Основы

Уметь решать квадратные уравнения — одно из самых главных навыков, которые пригодятся вам как в школе, так и в средних и высших учебных заведениях.

Чтобы решать квадратные уравнения, для начала нужно вспомнить общий вид квадратного уравнения и затем формулы, которые помогут вам при их решении. Неприведённое квадратное уравнение имеет вид:

где a, b, c — коэффициенты квадратного уравнения, причём a≠0.

1) Первым делом при решении квадратного уравнения мы определяем дискриминант, который равен:

2) Затем проверяем условия:

1. D > 0 — дискриминант положительный, а значит, что уравнение имеет два корня, формула которого:

   

2. D = 0 — нулевой дискриминант, означает, что уравнение имеет только один корень, который находится из выражения:

   

3. D < 0 — в данном случае у уравнения не будет корней, и можно будет смело писать в ответ слова «нет корней».

Примеры

Теперь рассмотрим примеры, которые помогут получше понять тему. Начнём с простых, которые не потребуют комментариев.

1) 

Решение: a = 2; b = -1; c = 1.

— уравнение не имеет корней.

2)

Решение: a = 1; b = -4; c = 5.

— уравнение имеет два корня.

Ответ: -1; 5.

3)

Решение: a = 1; b = -2; c = 1.

— уравнение имеет один корень.

Ответ: 1.

Теперь рассмотрим уравнения посложнее, с числами чуть-чуть побольше и которые не будут считаться так легко и быстро.

4)

Решение: a = 3; b = 5; c = 2.

Ответ:

5)

Решение: a = 1; b = 7; c = 9.

Как видно, у уравнения будет два корня. Но для их подсчёта нам надо вычислить корень из дискриминанта, а из 13 корень нельзя извлечь (получится нецелое число, которое мы не будем вычислять с помощью калькулятора). Поэтому мы так и оставим получившееся число, как оно и есть, и не будем его трогать.

Ответ:

6)

Для начала приведём подобные слагаемые, отняв 2x-13 слева и справа от знака равенства.

Решение: a = -2; b = -1; c = 10.

Значит, у уравнения есть два решения. Из числа 84 также не получится извлечь корень, но можно произвести пару преобразований:

Обычно это делается для сокращения чисел в ответе, чтобы ответ получился более коротким.

Как видно, мало что получилось сократить и уж тем более упростить. Тем не менее мы получили ответ:

Ответ:

Вывод

В этой статье вы узнали, как решаются квадратные уравнения на различной сложности примерах. Также следует запомнить, что в школьной программе обычно (но не обязательно всегда) попадаются такие числа, чтобы ответы были аккуратными (целые числа или небольшие дроби без корней). Обычно это и служит признаком того, что точно всё решено правильно.

Но лучше уметь решать уравнения с любыми числами, чтобы потом не возникали трудности при выполнении домашнего задания, различного вида самостоятельных работ и экзаменов.