Стационарные точки функции

Стационарной называют точку x₀, в которой функция определена, её производная существует и равна нулю: f′(x₀)=0. В геометрическом смысле это означает, что касательная к графику в соответствующей точке имеет нулевой угловой коэффициент и расположена горизонтально.

Условие f′(x₀)=0 является необходимым признаком многих внутренних точек экстремума, но не гарантирует экстремум само по себе. Например, функция f(x)=x³ имеет стационарную точку x=0, однако продолжает возрастать и слева, и справа от неё.

Поэтому работа со стационарными точками состоит из двух разных задач: сначала нужно найти решения уравнения f′(x)=0, а затем при необходимости исследовать характер функции возле каждого найденного значения.

Что определяет стационарную точку

Первое обязательное условие – существование производной. Если функция имеет излом, как f(x)=|x| при x=0, производная в этой точке отсутствует. Такая точка может считаться критической, но стационарной она не является.

Второе условие – нулевое значение производной. Если f′(x₀)>0 или f′(x₀)<0, касательная наклонена и точка не относится к стационарным.

Третье условие – принадлежность области определения исходной функции. Решение уравнения для производной нельзя принимать автоматически, если исходная функция в этой точке не существует.

Таблица 1. Признаки стационарной точки

Термин «стационарная точка» иногда употребляют для точки графика (x₀; f(x₀)), а иногда – для значения аргумента x₀. В учебном решении полезно уточнять, требуются ли только абсциссы или полные координаты.

Как найти стационарные точки

Алгоритм начинается с вычисления производной. Затем решают уравнение f′(x)=0 и проверяют найденные значения по области определения. Если в условии просят координаты точек графика, для каждого x₀ дополнительно вычисляют f(x₀).

Для многочленов этот процесс обычно сводится к решению линейного, квадратного или разложенного на множители уравнения. Для тригонометрических функций решение может содержать целый параметр k∈Z.

Таблица 2. Этапы поиска

Стационарная точка и экстремум

Для классификации удобно исследовать знак первой производной. Если f′ меняется с отрицательного на положительный, функция переходит от убывания к возрастанию и имеет локальный минимум. Смена «+» на «−» соответствует локальному максимуму. Если знак не меняется, экстремума нет.

Критические и стационарные точки

Критическое множество шире: в него обычно включают точки области определения, где производная равна нулю или не существует. Поэтому каждый стационарный аргумент является критическим, но не каждая критическая точка стационарна.

Различие особенно важно при исследовании функций с модулем, корнями и кусочной структурой. Если механически решать только f′(x)=0, можно пропустить потенциальные точки экстремума, где производная не существует.

Таблица 3. Стационарная и критическая точка

Алгоритм исследования стационарной точки

• Записать область определения функции.
• Вычислить первую производную f′(x).
• Решить уравнение f′(x)=0.
• Отобрать решения, принадлежащие области определения.
• Если нужны координаты, вычислить f(x₀).
• Для определения экстремума проверить знак f′ слева и справа.
• Не считать отсутствие смены знака ошибкой: стационарная точка может быть не экстремумом.

Мини-шпаргалка по теме

• Стационарная точка удовлетворяет условию f′(x₀)=0.
• Производная в этой точке должна существовать.
• Горизонтальная касательная имеет угловой коэффициент 0.
• Не каждая стационарная точка является экстремумом.
• Для минимума по первой производной характерна смена знака «−→+».
• Для максимума – смена «+→−».
• Точка, где производная не существует, может быть критической, но не стационарной.
• Если просят координаты, после x₀ нужно вычислить f(x₀).

Типичные ошибки и способы их предупреждения

Ошибка 1. Любой корень f′(x)=0 называют максимумом или минимумом. Сначала требуется проверить смену знака производной или применить другой критерий.

Ошибка 2. Не проверяют область определения исходной функции. Производная может быть записана в форме, допускающей формальные решения, не относящиеся к графику.

Ошибка 3. Смешивают стационарные и критические точки. При изломе производная не существует, поэтому стационарной такая точка не является.

Ошибка 4. Указывают только x₀, хотя в условии просят точки графика. Тогда следует записать пару (x₀; f(x₀)).

Ошибка 5. Считают горизонтальную касательную доказательством экстремума. График может пройти через стационарную точку без перехода от возрастания к убыванию.

Практические рекомендации

В таблице знаков производной стационарные абсциссы удобно отмечать на числовой прямой отдельными вертикальными разделителями. После этого выбирают по одному контрольному значению на каждом промежутке и определяют знак f′.

Как различать стационарные точки разных типов

У f(x)=x² точка x=0 стационарна и является минимумом; у f(x)=−x² – максимумом; у f(x)=x³ – стационарна, но не является экстремумом. Три примера показывают, что одинаковое условие f′=0 может соответствовать разному поведению графика.

Таблица 4. Примеры стационарных точек

Образцы краткого разбора

Образец 1. f(x)=x²−6x. f′=2x−6; x=3. Производная меняется «−→+», значит это минимум.

Образец 2. f(x)=x³. f′=3x²; x=0, но знак производной остаётся положительным по обе стороны, экстремума нет.

Образец 3. f(x)=|x| имеет минимум в x=0, но производной там нет: точка критическая, не стационарная.

Образец 4. Для f(x)=sin x стационарные абсциссы задаются бесконечной серией x=π/2+πk.

Связь темы с решением алгебраических задач

Стационарные точки используются при исследовании функций, построении графиков и решении задач на наибольшие и наименьшие значения. Умение отделять этап поиска от этапа классификации делает анализ графика логичным и проверяемым.

Сорок пять практических упражнений

Упражнения расположены от базовых действий к смысловой проверке и более содержательным заданиям. После каждого задания приведено решение, поэтому материал подходит для самостоятельной тренировки и повторения темы.

Упражнение 1. Найдите стационарные точки функции f(x)=x²−6x.

Решение. f′(x)=2x−6=0, поэтому x=3. Стационарная точка имеет координаты (3; −9).

Упражнение 2. Найдите стационарные точки функции f(x)=x²+4x+1.

Решение. f′(x)=2x+4=0, x=−2. f(−2)=−3, точка (−2; −3).

Упражнение 3. Найдите стационарные точки функции f(x)=x³−3x.

Решение. f′(x)=3x²−3=0, x=−1 и x=1. Это две стационарные точки по абсциссам.

Упражнение 4. Найдите стационарные точки функции f(x)=x³+6x².

Решение. f′(x)=3x²+12x=3x(x+4), поэтому x=0 и x=−4.

Упражнение 5. Найдите стационарные точки функции f(x)=x⁴−4x².

Решение. f′(x)=4x³−8x=4x(x²−2). Стационарные абсциссы: x=0, x=±√2.

Упражнение 6. Найдите стационарные точки функции f(x)=2x³−9x²+12x.

Решение. f′(x)=6x²−18x+12=6(x−1)(x−2). Стационарные абсциссы 1 и 2.

Упражнение 7. Найдите стационарные точки функции f(x)=x³−6x²+9x.

Решение. f′(x)=3(x−1)(x−3). Стационарные абсциссы 1 и 3.

Упражнение 8. Найдите стационарные точки функции f(x)=5x²−20x+7.

Решение. f′(x)=10x−20=0, x=2.

Упражнение 9. Найдите стационарные точки функции f(x)=−x²+8x−3.

Решение. f′(x)=−2x+8=0, x=4.

Упражнение 10. Найдите стационарные точки функции f(x)=x⁴+4x.

Решение. f′(x)=4x³+4=4(x³+1), поэтому x=−1.

Упражнение 11. Найдите стационарные точки функции f(x)=x⁵−5x.

Решение. f′(x)=5x⁴−5=5(x⁴−1), действительные решения x=−1 и x=1.

Упражнение 12. Найдите стационарные точки функции f(x)=x⁴−8x.

Решение. f′(x)=4x³−8=4(x³−2), x=∛2.

Упражнение 13. Найдите стационарные точки функции f(x)=3x³+3x².

Решение. f′(x)=9x²+6x=3x(3x+2), x=0 и x=−2/3.

Упражнение 14. Найдите стационарные точки функции f(x)=x³+3x²+3x.

Решение. f′(x)=3(x+1)², единственная стационарная абсцисса x=−1.

Упражнение 15. Найдите стационарные точки функции f(x)=x⁴.

Решение. f′(x)=4x³, поэтому x=0.

Упражнение 16. Найдите стационарные точки функции f(x)=x³.

Решение. f′(x)=3x², поэтому x=0. Эта стационарная точка не является экстремумом.

Упражнение 17. Найдите стационарные точки функции f(x)=sin x.

Решение. f′(x)=cos x. Стационарные точки по абсциссе: x=π/2+πk, k∈Z.

Упражнение 18. Найдите стационарные точки функции f(x)=cos x.

Решение. f′(x)=−sin x. Стационарные абсциссы x=πk, k∈Z.

Упражнение 19. Найдите стационарные точки функции f(x)=sin 2x.

Решение. f′(x)=2cos 2x=0, значит x=π/4+πk/2, k∈Z.

Упражнение 20. Найдите стационарные точки функции f(x)=cos 3x.

Решение. f′(x)=−3sin 3x=0, значит x=πk/3, k∈Z.

Упражнение 21. Дайте определение стационарной точки функции.

Решение. Точка x₀ из области определения называется стационарной, если производная функции в ней существует и равна нулю: f′(x₀)=0.

Упражнение 22. Верно ли, что каждая стационарная точка является точкой экстремума?

Решение. Нет. Например, у f(x)=x³ в точке x=0 производная равна нулю, но функция продолжает возрастать и экстремума нет.

Упражнение 23. Чем стационарная точка отличается от критической?

Решение. Стационарная требует существования производной и равенства её нулю. Критической обычно называют точку, где f′=0 либо производная не существует, если сама функция определена.

Упражнение 24. Является ли x=0 стационарной точкой функции f(x)=|x|?

Решение. Нет. Функция определена, но производная в нуле не существует. Это критическая, но не стационарная точка.

Упражнение 25. Что можно сказать о касательной в стационарной точке?

Решение. Если касательная существует, её угловой коэффициент равен f′(x₀)=0, поэтому касательная горизонтальна.

Упражнение 26. Для f(x)=x² найдите стационарную точку и определите её тип.

Решение. f′(x)=2x, x=0. Производная меняет знак с «−» на «+», поэтому (0;0) – точка локального минимума.

Упражнение 27. Для f(x)=−x² найдите стационарную точку и определите её тип.

Решение. f′(x)=−2x, x=0. Знак меняется с «+» на «−», поэтому (0;0) – точка локального максимума.

Упражнение 28. Для f(x)=x³ определите знак производной слева и справа от x=0.

Решение. f′(x)=3x²≥0 и положительна по обе стороны от нуля. Смены знака нет, поэтому экстремума нет.

Упражнение 29. Для f(x)=x⁴ определите тип стационарной точки x=0.

Решение. f′(x)=4x³ меняет знак с отрицательного на положительный, поэтому x=0 – точка локального минимума.

Упражнение 30. Найдите стационарные абсциссы f(x)=x³−12x.

Решение. f′(x)=3x²−12=3(x−2)(x+2), поэтому x=−2 и x=2.

Упражнение 31. Найдите стационарные абсциссы f(x)=2x³+3x²−12x.

Решение. f′(x)=6x²+6x−12=6(x+2)(x−1), поэтому x=−2 и x=1.

Упражнение 32. Найдите стационарные абсциссы f(x)=x⁴−2x²+5.

Решение. f′(x)=4x³−4x=4x(x−1)(x+1), поэтому x=−1, 0, 1.

Упражнение 33. Найдите стационарные абсциссы f(x)=3x⁴−12x².

Решение. f′(x)=12x³−24x=12x(x²−2), поэтому x=0, ±√2.

Упражнение 34. Найдите стационарную абсциссу f(x)=e^x−x.

Решение. f′(x)=e^x−1=0, откуда x=0.

Упражнение 35. Найдите стационарные точки f(x)=ln x−x на x>0.

Решение. f′(x)=1/x−1=0, поэтому x=1. f(1)=−1, точка (1;−1).

Упражнение 36. Найдите стационарную абсциссу f(x)=x+1/x при x>0.

Решение. f′(x)=1−1/x²=0. При x>0 получаем x=1.

Упражнение 37. Найдите стационарные абсциссы f(x)=x+1/x при x≠0.

Решение. 1−1/x²=0, поэтому x=−1 и x=1.

Упражнение 38. Функция имеет f′(x)= (x−2)(x+1). Найдите стационарные абсциссы.

Решение. Нужно решить f′(x)=0: x=2 и x=−1.

Упражнение 39. Функция имеет f′(x)=x²+4. Есть ли действительные стационарные точки?

Решение. Нет, потому что x²+4>0 при любом действительном x и производная нигде не равна нулю.

Упражнение 40. Функция имеет f′(x)=x². Что происходит в x=0?

Решение. x=0 – стационарная точка, но знак производной не меняется. По одному равенству f′=0 экстремум заключать нельзя.

Упражнение 41. Сформулируйте алгоритм поиска стационарных точек.

Решение. Найти производную, определить точки её существования, решить уравнение f′(x)=0, отобрать решения из области определения и при необходимости вычислить соответствующие значения f(x).

Упражнение 42. Как исследовать стационарную точку на экстремум по первой производной?

Решение. Определяют знак f′ слева и справа: «−→+» означает минимум, «+→−» – максимум, отсутствие смены знака – не экстремум.

Упражнение 43. Можно ли искать стационарные точки, не учитывая область определения функции?

Решение. Нет. Корень уравнения f′(x)=0 должен принадлежать области определения исходной функции и быть точкой существования производной.

Упражнение 44. Найдите стационарные абсциссы f(x)=x⁶−3x².

Решение. f′(x)=6x⁵−6x=6x(x⁴−1). Действительные решения: x=−1, 0, 1.

Упражнение 45. Найдите стационарную абсциссу f(x)=x³+1.

Решение. f′(x)=3x², поэтому x=0.

Заключение

Стационарные точки находятся из уравнения f′(x)=0 при обязательном условии существования функции и производной. Геометрически им соответствует горизонтальная касательная к графику.

Равенство производной нулю само по себе не определяет тип точки. Для вывода о максимуме или минимуме нужно исследовать изменение знака f′ или применить другой признак экстремума; отсутствие смены знака означает, что стационарная точка может не быть экстремумом.