О нас 
Array
(
    [0] => Наша методика
    [1] => /about/method/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Наша методика
Array
(
    [0] => Преимущества
    [1] => /about/advantage/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Преимущества
Array
(
    [0] => Наши преподаватели
    [1] => /about/teachers/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Наши преподаватели
Array
(
    [0] => Контакты
    [1] => /about/contacts/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Контакты
Блог
Материалы 
Array
(
    [0] => Как готовиться к ЕГЭ?
    [1] => /materials/exam-prepare/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Как готовиться к ЕГЭ?
Array
(
    [0] => Учебные материалы
    [1] => /materials/learning/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Учебные материалы
Array
(
    [0] => Образовательным организациям
    [1] => /materials/partners/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Образовательным организациям
Array
(
    [0] => Пользовательское соглашение
    [1] => /materials/agreement/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Пользовательское соглашение
Справочник 
Array
(
    [0] => Арифметика
    [1] => /arithmetic/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Арифметика
Array
(
    [0] => Алгебра
    [1] => /algebra/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Алгебра
Array
(
    [0] => Планиметрия
    [1] => /planimetry/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Планиметрия
Array
(
    [0] => Информатика
    [1] => /informatics/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Информатика
Array
(
    [0] => Русский язык
    [1] => /russian/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)
Русский язык
Контакты
Личный кабинет
8 800 551-50-78 (бесплатно)
БЕСПЛАТНАЯ ПОДГОТОВКА К ЕГЭ ПО ПРОФИЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ
Подготовься к ЕГЭ-2026 по профильной математике самостоятельно с помощью сервиса "1С:Репетитор"!
Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Вы успеете подготовиться к экзамену! Начните занятия прямо сейчас!
design_arrow
8 800 551-50-78
Личный кабинет
1С:Репетитор – подготовка к ЕГЭ по математике
© ООО «1С-Софт» | ЧОУ ДПО «1С-ОБРАЗОВАНИЕ» | 2016–2026
8 800 551-50-78
Мы в соцсетях:
Степенные функции, их свойства и графики

Степенные функции, их свойства и графики

Степенная функция — одна из базовых тем алгебры, которая напрямую связана с анализом графиков, решением уравнений и неравенств. Она описывает зависимости вида y=xa, где показатель степени влияет на форму графика и свойства функции. Понимание этой темы позволяет быстро ориентироваться в заданиях ЕГЭ и избегать типичных ошибок.

Что такое степенная функция

Степенной называют функцию вида
y = x2, где a — число.

Основные типы:
Основные типы степенной функции

Каждый тип имеет свои особенности поведения.

Свойства степенных функций

Чётный показатель (пример y = x2)

  • область определения: все числа; 
  • область значений: y ≥ 0; 
  • функция чётная; 
  • убывает при x < 0, возрастает при x > 0. 

Нечётный показатель (пример y = x3)

  • область определения: все числа; 
  • функция нечётная; 
  • возрастает на всей области определения. 

Отрицательный показатель

  • область определения: x ≠ 0; 
  • график — гипербола; 
  • есть разрыв в нуле. 

Дробный показатель (пример y= √x ​)

  • область определения: x ≥ 0; 
  • функция возрастает. 

Как связаны свойства и график

  • чётная степень → симметрия относительно оси Oy; 
  • нечётная → симметрия относительно начала координат; 
  • отрицательная → разрыв при x=0; 
  • дробная → ограничение области определения. 

графики степенных функций

Практика: задания для самостоятельного решения

Задание 1
Решите неравенство: x2 ≤ 9 

Задание 2
Решите уравнение: x3=27 

Задание 3
Найдите область определения функции: 

Задание 4
Найдите область определения функции: y = √5−x 

Задание 5
Сравните значения: 23 и 32

Задание 6
Решите неравенство: x3 > −8 

Задание 7
Решите уравнение: 

Задание 8
Решите неравенство: x2 – 4 ≥ 0  

Задание 9
Найдите область определения функции: 

Задание 10
Найдите область определения функции: ​

Задание 11
Укажите, какая функция является чётной:

Задание 12
Укажите, какая функция является нечётной:

  1. y = x4

  2. y = √x​ 

  3. y = x3

Задание 13
Укажите, какая функция возрастает на всей области определения:

Задание 14
Укажите, на каком промежутке функция y = x2 возрастает.

Задание 15
При каких значениях x функция   положительна? 

Задание 16
Решите неравенство: x2 > 16 

Задание 17
Решите неравенство: √x < 3 

Задание 18
Решите неравенство: 

Задание 19
Решите уравнение: x2 = 16 

Задание 20
Сравните значения: 33 и 25

Задание 21
Решите неравенство: x4 − 5x2 + 4 ≥ 0 

Задание 22
Решите неравенство: 

Задание 23
Решите уравнение: 

Задание 24
Решите неравенство: 

Задание 25
Решите уравнение: x3/2 = 8 

Задание 26
Решите неравенство: x3 – x > 0 

Задание 27
Решите уравнение:  

Типичные ошибки

Частая ошибка — игнорирование области определения. Например, нельзя подставлять отрицательные значения в y =√x или брать x = 0 в 

Также путают чётные и нечётные функции, неправильно определяют промежутки возрастания и убывания, либо ориентируются только на рисунок, не анализируя свойства.

Связь с подготовкой к ЕГЭ

Степенные функции используются в заданиях на:

  • анализ графиков; 
  • решение неравенств; 
  • преобразование выражений; 
  • сравнение значений. 

Понимание свойств позволяет быстрее находить решение и избегать ошибок.

Что повторить дополнительно

Для закрепления темы рекомендуется изучить:

Заключение

Степенные функции — фундаментальный элемент алгебры. Они формируют понимание поведения графиков, помогают решать уравнения и неравенства и являются базой для более сложных тем. Если освоить свойства и научиться распознавать графики, задания ЕГЭ по этой теме становятся значительно проще.


< Назад к списку