Текстовые задачи

Что называют текстовой задачей

Текстовой называют задачу, в которой математическая ситуация описана словами, а для получения ответа необходимо самостоятельно определить способ решения. В отличие от примеров на вычисления, здесь сначала нужно проанализировать условие, выделить известные и неизвестные величины, установить связи между ними и только после этого переходить к математическим преобразованиям.

Главная особенность текстовых задач заключается в том, что решение начинается не с вычислений, а с построения математической модели. Одни и те же реальные процессы можно описать с помощью уравнений, систем уравнений, пропорций, таблиц или графических схем. Правильный выбор модели позволяет значительно упростить решение.

Несмотря на разнообразие сюжетов, все текстовые задачи основаны на нескольких типах зависимостей между величинами. Именно поэтому важно не запоминать готовые решения, а понимать, какие математические отношения скрываются за условием задачи.

Например, в задаче о движении используются зависимости между расстоянием, скоростью и временем, в задаче о совместной работе — между производительностью и временем, а в задачах на проценты — между частью и целым. Освоив эти зависимости, можно успешно решать задачи самого разного содержания.

Основные виды текстовых задач

В профильном ЕГЭ встречаются различные виды текстовых задач, однако большинство из них можно объединить в несколько основных групп. Каждая группа имеет свои особенности, но общий принцип решения остаётся одинаковым: необходимо определить неизвестную величину, составить математическую модель и решить полученное уравнение или систему уравнений.

Одними из самых распространённых являются задачи на движение. В них рассматриваются различные ситуации: движение навстречу друг другу, в одном направлении, по течению и против течения, а также движение по замкнутому маршруту. Основой решения служит зависимость между расстоянием, скоростью и временем.

Не менее часто встречаются задачи на совместную работу. В них необходимо определить производительность каждого участника процесса, время выполнения работы или общий объём выполненной работы. Для решения используют связь между производительностью, временем и объёмом работы.

Большую группу составляют задачи на проценты. Они связаны с изменением стоимости товаров, начислением скидок, увеличением или уменьшением величин, банковскими вкладами и другими финансовыми расчётами. Здесь важно правильно определить, какая величина принимается за 100 %.

В экзаменационных вариантах встречаются также задачи на смеси, сплавы и растворы. Их решение основано на сохранении массы вещества и правильном учёте концентрации компонентов.

Кроме того, в профильном ЕГЭ могут использоваться задачи на стоимость покупок, производительность оборудования, расход материалов, экономические расчёты и другие практико-ориентированные ситуации. Несмотря на различие сюжетов, все они требуют одного и того же навыка — умения переводить текст условия на язык математики.

Общий алгоритм решения текстовых задач

Успешное решение текстовой задачи начинается с внимательного анализа условия. Многие ошибки возникают из-за того, что учащиеся торопятся выполнять вычисления, не разобравшись в смысле задачи. Гораздо эффективнее сначала понять, какие величины известны, какие необходимо найти, и как они связаны между собой.

Следующий этап — выбор неизвестной величины. Именно её обычно обозначают переменной. Желательно выбирать такую величину, через которую можно наиболее просто выразить остальные данные задачи. Правильный выбор переменной значительно облегчает составление математической модели.

После этого необходимо записать зависимости между величинами. Иногда достаточно воспользоваться одной известной формулой, например S = vt для задач на движение или A = pt для задач на работу. В более сложных случаях приходится составлять несколько взаимосвязанных выражений или систему уравнений.

Получив математическую модель, можно переходить к её решению. На этом этапе применяются уже известные методы: решение линейных, квадратных или рациональных уравнений, использование пропорций, преобразование выражений и другие математические приёмы.

Последний шаг — обязательная проверка ответа. Необходимо убедиться, что найденное значение удовлетворяет условию задачи, имеет смысл с точки зрения реальной ситуации и записано в требуемых единицах измерения. Именно проверка помогает обнаружить многие ошибки ещё до получения окончательного ответа.

Если каждый из перечисленных этапов выполнен последовательно, вероятность ошибки значительно снижается независимо от типа текстовой задачи.

Как составить математическую модель

Построение математической модели — ключевой этап решения любой текстовой задачи. Именно здесь описание реальной ситуации превращается в математические выражения, с которыми уже можно выполнять вычисления.

Прежде всего, необходимо определить неизвестную величину и обозначить её переменной. После этого остальные величины выражают через выбранную переменную, используя данные условия. Такой подход позволяет получить уравнение, отражающее взаимосвязь между всеми элементами задачи.

Во многих случаях удобно использовать таблицу. Она помогает систематизировать информацию и избежать ошибок при записи зависимостей.

Использование таблицы особенно полезно в задачах, где одновременно рассматриваются несколько объектов или процессов. Она позволяет увидеть взаимосвязи между величинами и значительно облегчает составление уравнения.

Не стоит начинать решение с вычислений. Пока не построена математическая модель, существует высокий риск выбрать неверный путь решения. Намного эффективнее сначала записать все зависимости, проверить их правильность и только затем выполнять необходимые вычисления.

Правильно составленная математическая модель не только упрощает решение конкретной задачи, но и помогает успешно справляться с новыми заданиями, даже если их сюжет отличается от уже встречавшихся ранее.

Памятка перед решением текстовой задачи

Прежде чем составлять уравнение или выполнять вычисления, полезно ещё раз внимательно проанализировать условие. Несколько простых вопросов помогают избежать большинства типичных ошибок.

Перед началом решения спросите себя:

1. Что требуется найти?
2. Какую величину удобнее всего обозначить переменной?
3. Какие зависимости связывают известные и неизвестные величины?
4. Все ли данные записаны в одинаковых единицах измерения?
5. Можно ли проверить полученный ответ по смыслу задачи?

Если на каждый вопрос найден ответ, составить математическую модель обычно не составляет труда. Такой подход позволяет избежать поспешных вычислений, уменьшает вероятность ошибок и делает решение более последовательным. 

Где встречаются текстовые задачи на ЕГЭ

Текстовые задачи входят в число наиболее практико-ориентированных заданий профильного ЕГЭ по математике. Они проверяют не только владение вычислительными навыками, но и умение анализировать условие, выбирать математическую модель и логически обосновывать каждый этап решения.

Наиболее часто выпускники сталкиваются с задачами на движение. В них используются различные модели: движение навстречу друг другу, в одном направлении, по круговому маршруту, а также движение по реке с учётом скорости течения. Для успешного решения необходимо уверенно применять зависимость между расстоянием, скоростью и временем.

Не менее распространены задачи на совместную работу. В подобных заданиях требуется определить производительность каждого участника процесса, время выполнения работы или общий объём выполненной работы. Основой решения служит связь между производительностью, временем и выполненной работой.

Регулярно встречаются задания, связанные с процентами. Они могут описывать скидки, изменение стоимости товаров, начисление банковских процентов, изменение численности населения или другие реальные ситуации. Важно правильно определить, какая величина принимается за 100 %, поскольку именно здесь чаще всего возникают ошибки.

В экзаменационных вариантах встречаются также задачи на смеси, растворы и сплавы. Их решение основано на законе сохранения массы вещества и правильном использовании понятия концентрации. Несмотря на необычный сюжет, такие задачи решаются по тем же принципам, что и остальные текстовые задачи: составляется математическая модель, после чего выполняются необходимые вычисления.

Иногда текстовые задачи включают экономические расчёты, определение стоимости покупки, расход материалов, производительность оборудования или другие практические ситуации. Независимо от содержания, все они требуют одного и того же навыка — умения переводить текст условия на язык математических зависимостей.

Поэтому при подготовке к профильному ЕГЭ полезно не ограничиваться решением задач одного типа. Чем разнообразнее рассмотренные сюжеты, тем легче распознавать математическую модель новой задачи и выбирать наиболее рациональный способ её решения.

Разбор заданий ЕГЭ

Пример 1

Условие: Первый рабочий может выполнить заказ за 12 дней, второй — за 18 дней. За сколько дней они выполнят этот заказ, работая вместе?

Разбор: Примем весь объём работы за 1.

Производительность первого рабочего: 1/12 работы в день.

Производительность второго рабочего: 1/18 работы в день.

Совместная производительность: 1/12 + 1/18 = 5/36 работы в день.

Время выполнения всей работы: 1 : 5/36 = 36/5 = 7,2 дня.

Ответ: 7,2 дня.

При совместной работе складывают не время, а производительности участников.

Пример 2

Условие: Цена товара была снижена на 15 % и составила 3400 рублей. Определите первоначальную цену товара.

Разбор: После снижения на 15 % осталось 85 % первоначальной стоимости.

Пусть первоначальная цена равна x рублей.

Получаем уравнение: 0,85x = 3400.

Отсюда x = 3400/0,85 = 4000.

Ответ: 4000 рублей.

При решении задач на проценты важно определить, какая величина соответствует 100 %.

Пример 3

Условие: К 4 кг раствора соли концентрацией 10 % добавили 1 кг чистой соли. Определите концентрацию полученного раствора.

Разбор: В исходном растворе содержится

4 · 0,10 = 0,4 кг соли.

После добавления чистой соли масса соли стала

0,4 + 1 = 1,4 кг.

Общая масса раствора:

4 + 1 = 5 кг.

Концентрация нового раствора:

1,4/5 = 0,28 = 28 %.

Ответ: 28 %.

В задачах на растворы удобно отдельно учитывать массу раствора и массу растворённого вещества.

Пример 4

Условие: Ручка стоит 120 рублей, а тетрадь — 80 рублей. Покупатель приобрёл 3 ручки и 5 тетрадей. Сколько рублей он заплатил?

Разбор: Стоимость ручек: 3 · 120 = 360 рублей.

Стоимость тетрадей: 5 · 80 = 400 рублей.

Общая стоимость покупки: 360 + 400 = 760 рублей.

Ответ: 760 рублей.

Даже самые простые текстовые задачи требуют внимательного анализа условия и правильного выбора арифметических действий. 

Типичные ошибки выпускников

Даже хорошо понимая общий принцип решения текстовых задач, выпускники нередко допускают ошибки уже на первых этапах работы с условием. Чаще всего они связаны не со сложностью вычислений, а с неправильным построением математической модели.

Одной из наиболее распространённых ошибок является невнимательное чтение условия. Учащиеся начинают выполнять вычисления сразу после первого прочтения текста и пропускают важные детали: дополнительные ограничения, единицы измерения или взаимосвязь между величинами. Чтобы избежать подобных ошибок, полезно сначала выделить все известные и неизвестные данные, а затем определить, какую величину требуется найти.

Не менее часто возникают затруднения при выборе переменной. Иногда выпускники обозначают неизвестной величину, через которую сложно выразить остальные данные задачи. В результате уравнение получается громоздким и возрастает вероятность вычислительной ошибки. Обычно лучше выбирать переменную так, чтобы большинство остальных величин легко выражалось через неё.

Распространённой причиной потери баллов становится неправильное составление математической модели. Например, в задачах на совместную работу учащиеся складывают время выполнения работы вместо производительности, а в задачах на движение складывают расстояния там, где следует использовать скорость сближения. Подобные ошибки приводят к неверному уравнению, даже если дальнейшие вычисления выполняются безошибочно.

Многие выпускники забывают проверять единицы измерения. Если в условии используются часы и минуты, километры и метры или килограммы и граммы, перед составлением уравнения необходимо привести все величины к одинаковым единицам. Несогласованность единиц измерения часто становится причиной неверного ответа.

Ещё одна типичная ошибка связана с процентами. Некоторые учащиеся не определяют, какая величина принимается за 100 %, и начинают выполнять вычисления с неправильной базой сравнения. В результате даже верно составленные вычисления приводят к неправильному ответу.

После получения решения многие выпускники сразу записывают найденное число, не проверяя его соответствие условию задачи. Между тем проверка позволяет убедиться, что ответ имеет реальный смысл, удовлетворяет всем ограничениям и записан в правильных единицах измерения. На экзамене этот простой этап помогает избежать досадных ошибок и сохранить баллы. 

Практические задания

1. Два автомобиля одновременно выехали навстречу друг другу из городов, расстояние между которыми составляет 360 км. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, второго — 70 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
2. Первый рабочий выполняет заказ за 15 дней, второй — за 10 дней. За сколько дней они выполнят заказ, работая вместе?
3. После скидки 20 % товар стал стоить 2400 рублей. Определите первоначальную цену товара.
4. В сосуде находится 6 кг раствора соли концентрацией 15 %. Сколько килограммов соли содержится в растворе?
5. После повышения цены на 12 % товар стал стоить 4480 рублей. Какова была его первоначальная стоимость?
6. Турист прошёл 18 км за 4 часа. Найдите его среднюю скорость.
7. Покупатель приобрёл 4 тетради по 75 рублей и 3 ручки по 120 рублей. Сколько рублей он заплатил?
8. Турист должен пройти 30 км. Первые 2 часа он шёл со скоростью 5 км/ч, а оставшийся путь — со скоростью 4 км/ч. Сколько времени занял весь путь?
9. Известно, что первый насос наполняет бассейн за 8 часов, а второй — за 12 часов. За какое время бассейн наполнится при совместной работе насосов?
10. В сплаве массой 20 кг содержится 30 % меди. Сколько килограммов меди находится в сплаве?

Ответы

1. 2,4 часа.
2. 6 дней.
3. 3000 рублей.
4. 0,9 кг.
5. 4000 рублей.
6. 4,5 км/ч.
7. 660 рублей.
8. 7 часов.
9. 4,8 часа.
10. 6 кг.

Итог

Текстовые задачи объединяют множество различных жизненных ситуаций, однако большинство из них решается по единому принципу. Необходимо внимательно проанализировать условие, выбрать неизвестную величину, составить математическую модель и только после этого переходить к вычислениям. Именно такой подход позволяет уверенно справляться как с простыми, так и со сложными заданиями профильного ЕГЭ.

При подготовке к экзамену важно не стремиться запомнить решения всех возможных задач. Намного полезнее научиться распознавать зависимости между величинами, правильно выбирать математическую модель и проверять полученный результат. Эти навыки универсальны и помогают успешно решать задачи на движение, совместную работу, проценты, смеси, сплавы и многие другие практические ситуации.

Регулярная практика, внимательное отношение к условию и систематическая работа с различными типами текстовых задач позволяют значительно повысить уверенность на экзамене и избежать большинства типичных ошибок. Именно поэтому умение решать текстовые задачи считается одним из ключевых элементов подготовки к профильному ЕГЭ по математике.