Тройной угол

Формулы тройного угла выражают значения тригонометрических функций от аргумента 3x через функции от x. Для синуса и косинуса используются равенства sin 3x = 3sin x − 4sin³ x и cos 3x = 4cos³ x − 3cos x. Они связывают кратный угол с кубическими выражениями и позволяют переходить в обоих направлениях.

Тема продолжает формулы сложения и двойного угла. Аргумент 3x представляют как сумму 2x + x, после чего раскрывают синус или косинус суммы. Затем функции двойного угла заменяют выражениями через sin x и cos x, а полученный результат упрощают с помощью основного тождества.

Практическая ценность формул проявляется при вычислении точных значений, доказательстве тождеств, решении уравнений и понижении кубической степени. Надёжное применение требует помнить не только окончательную запись, но и происхождение коэффициентов 3 и 4, порядок знаков и ограничения для формулы тангенса.

Вывод формулы синуса тройного угла

Начинаем с представления 3x = 2x + x и применяем формулу синуса суммы: sin 3x = sin 2x cos x + cos 2x sin x. Далее подставляем sin 2x = 2sin x cos x и cos 2x = 1 − 2sin² x.

Получаем sin 3x = 2sin x cos² x + sin x − 2sin³ x. Так как cos² x = 1 − sin² x, первое слагаемое превращается в 2sin x − 2sin³ x. После приведения подобных слагаемых выходит окончательная формула: sin 3x = 3sin x − 4sin³ x.

Таблица 1. Последовательность вывода формул синуса и косинуса

Вывод формулы косинуса тройного угла

Для косинуса используем cos 3x = cos 2x cos x − sin 2x sin x. Подстановка cos 2x = 2cos² x − 1 и sin 2x = 2sin x cos x даёт 2cos³ x − cos x − 2sin² x cos x.

Заменяем sin² x выражением 1 − cos² x. Тогда −2sin² x cos x = −2cos x + 2cos³ x. После объединения кубических и линейных слагаемых получаем cos 3x = 4cos³ x − 3cos x.

Формула тангенса тройного угла

Тангенс тройного угла выводят из формулы тангенса суммы: tan(2x + x) = (tan 2x + tan x)/(1 − tan 2x tan x). Если обозначить t = tan x и подставить tan 2x = 2t/(1 − t²), после приведения дробей получится tan 3x = (3t − t³)/(1 − 3t²).

В отличие от формул синуса и косинуса, здесь особенно важны допустимые значения. Должны существовать tan x и tan 3x, а знаменатель 1 − 3tan² x не должен обращаться в ноль в той записи, где используется рациональная дробь. Ограничения нельзя отбрасывать при решении уравнений.

Таблица 2. Формулы тройного угла и условия применения

Проверка формул на простых углах

При x = 0 формула косинуса даёт cos 0 = 4·1³ − 3·1 = 1, а формула синуса — sin 0 = 0. При x = π/6 получаем sin π/2 = 3·1/2 − 4·1/8 = 1. Такие подстановки быстро выявляют перепутанные коэффициенты или неверный знак.

Симметрия формул

Синус является нечётной функцией, поэтому правая часть 3sin x − 4sin³ x также нечётна. Косинус — чётная функция, и выражение 4cos³ x − 3cos x сохраняет чётность. Совпадение симметрии служит дополнительной проверкой правильности записи.

Понижение кубической степени

Формулы тройного угла можно решить относительно куба функции. Из sin 3x = 3sin x − 4sin³ x следует sin³ x = (3sin x − sin 3x)/4. Из cos 3x = 4cos³ x − 3cos x получаем cos³ x = (3cos x + cos 3x)/4.

Эти равенства уменьшают степень с третьей до первой, но вводят дополнительную функцию тройного аргумента. Они полезны при преобразовании выражений, вычислении интегралов и сравнении гармонических составляющих.

Таблица 3. Прямые и обратные преобразования

Вычисление точных значений

Формула тройного угла помогает находить значения, когда тройной аргумент является известным углом. Например, при x = 20° равенство cos 60° = 4cos³20° − 3cos20° превращается в кубическое соотношение для cos20°. Оно не всегда сразу даёт простой радикал, но позволяет доказать тождества и установить алгебраические свойства значения.

В другом направлении формула быстро вычисляет sin 3x или cos 3x по известному sin x либо cos x. Если sin x = 1/2, то sin 3x = 3/2 − 4·1/8 = 1. При выборе знака другой функции важно учитывать четверть, если расчёт требует перехода между синусом и косинусом.

Применение к уравнениям и тождествам

Выражение 4cos³ x − 3cos x удобно сразу заменять на cos 3x. Например, уравнение 4cos³ x − 3cos x = 0 превращается в cos 3x = 0. После этого находят 3x = π/2 + πk и получают x = π/6 + πk/3, где k — целое число.

Аналогично уравнение 3sin x − 4sin³ x = a сводится к sin 3x = a. Такое преобразование уменьшает степень и позволяет использовать стандартные формулы решения простейших тригонометрических уравнений.

Таблица 4. Типовые задачи с формулами тройного угла

Алгоритм применения формулы

• Определить, какая функция используется: синус, косинус, тангенс или котангенс.
• Проверить, дан ли кратный угол 3x или кубическая комбинация функции от x.
• Выбрать направление: раскрыть функцию тройного угла либо, наоборот, свернуть выражение.
• Сохранить коэффициенты и знаки: 3 и 4 у синуса расположены иначе, чем у косинуса.
• Для тангенса отдельно записать ограничения и проверить знаменатель.
• После преобразования решить простейшую задачу: вычислить значение, упростить выражение или решить уравнение.
• Проверить ответ на удобном угле или подстановкой в исходное выражение.

Мини-шпаргалка по теме

• sin 3x = 3sin x − 4sin³ x: сначала линейное слагаемое, затем вычитается куб.
• cos 3x = 4cos³ x − 3cos x: сначала куб с коэффициентом 4.
• tan 3x = (3tan x − tan³ x)/(1 − 3tan² x).
• sin³ x = (3sin x − sin 3x)/4.
• cos³ x = (3cos x + cos 3x)/4.
• Формулы синуса и косинуса верны при любом действительном x.
• В формулах тангенса и котангенса необходимо учитывать область допустимых значений.
• Быстрая проверка коэффициентов выполняется при x = 0 или x = π/6.

Типичные ошибки и способы их предупреждения

Ошибка 1. Путают порядок коэффициентов и записывают sin 3x = 4sin x − 3sin³ x. Верная формула содержит 3 перед sin x и 4 перед sin³ x. Проверка при x = π/6 показывает несоответствие.

Ошибка 2. В формуле косинуса ставят плюс между слагаемыми. Нормативная запись: cos 3x = 4cos³ x − 3cos x. При x = 0 правая часть должна равняться единице, а не семи.

Ошибка 3. При понижении куба неверно переносят слагаемое. Из формулы синуса получается 4sin³ x = 3sin x − sin 3x, поэтому перед sin 3x сохраняется минус.

Ошибка 4. Формулу тангенса применяют без проверки знаменателя. Если 1 − 3tan² x = 0, рациональная запись не определена; кроме того, должны существовать исходный и тройной тангенсы.

Ошибка 5. После замены кубической комбинации на sin 3x или cos 3x забывают разделить общий аргумент при решении уравнения. Например, из cos 3x = 0 сначала находят 3x, а затем каждое решение делят на три.

Образцы краткого решения

Образец 1. Упростить 3sin 2x − 4sin³ 2x. Формула применяется к аргументу 2x целиком: результат равен sin 6x.

Образец 2. Понизить степень в cos³ 5x. Заменяем x на 5x: cos³ 5x = [3cos 5x + cos 15x]/4.

Образец 3. Решить 4cos³ x − 3cos x = 0. Сворачиваем левую часть: cos 3x = 0. Тогда 3x = π/2 + πk, откуда x = π/6 + πk/3, k ∈ Z.

Образец 4. Найти tan 3x, если tan x = 1/2. Подставляем t = 1/2: числитель равен 3/2 − 1/8 = 11/8, знаменатель — 1 − 3/4 = 1/4. Поэтому tan 3x = 11/2.

Сорок пять практических упражнений

Задания идут от воспроизведения основных формул к преобразованию кубов, вычислению значений, проверке допустимых значений и решению уравнений. После каждого упражнения приведено решение.

Упражнение 1. Запишите формулу синуса тройного угла.
Решение. sin 3x = 3sin x − 4sin³ x.

Упражнение 2. Запишите формулу косинуса тройного угла.
Решение. cos 3x = 4cos³ x − 3cos x.

Упражнение 3. Запишите формулу тангенса тройного угла через t = tan x.
Решение. tan 3x = (3t − t³)/(1 − 3t²).

Упражнение 4. Выразите sin³ x через синусы первой степени.
Решение. sin³ x = (3sin x − sin 3x)/4.

Упражнение 5. Выразите cos³ x через косинусы первой степени.
Решение. cos³ x = (3cos x + cos 3x)/4.

Упражнение 6. Проверьте формулу sin 3x при x = 0.
Решение. Слева и справа получается 0.

Упражнение 7. Проверьте формулу cos 3x при x = 0.
Решение. Слева cos0 = 1; справа 4·1 − 3·1 = 1.

Упражнение 8. Проверьте формулу синуса при x = π/6.
Решение. sin(π/2)=1, а 3·1/2−4·1/8=1.

Упражнение 9. Упростите 3sin x − 4sin³ x.
Решение. sin 3x.

Упражнение 10. Упростите 4cos³ x − 3cos x.
Решение. cos 3x.

Упражнение 11. Упростите 3sin 2x − 4sin³ 2x.
Решение. sin 6x.

Упражнение 12. Упростите 4cos³ 4x − 3cos 4x.
Решение. cos 12x.

Упражнение 13. Понизьте степень в sin³ 2x.
Решение. sin³2x = (3sin2x − sin6x)/4.

Упражнение 14. Понизьте степень в cos³ 3x.
Решение. cos³3x = (3cos3x + cos9x)/4.

Упражнение 15. Вычислите sin 3x, если sin x = 0.
Решение. sin3x = 0.

Упражнение 16. Вычислите cos 3x, если cos x = 1.
Решение. cos3x = 4−3=1.

Упражнение 17. Вычислите sin 3x, если sin x = 1/2.
Решение. sin3x = 3/2−4·1/8=1.

Упражнение 18. Вычислите cos 3x, если cos x = 1/2.
Решение. cos3x = 4·1/8−3/2=−1.

Упражнение 19. Вычислите sin 3x, если sin x = −1/2.
Решение. Получается −3/2+1/2=−1.

Упражнение 20. Вычислите cos 3x, если cos x = −1/2.
Решение. 4·(−1/8)−3·(−1/2)=1.

Упражнение 21. Найдите tan 3x, если tan x = 0.
Решение. tan3x = 0.

Упражнение 22. Найдите tan 3x, если tan x = 1/2.
Решение. tan3x = (3/2−1/8)/(1−3/4) = 11/2.

Упражнение 23. Найдите tan 3x, если tan x = −1/2.
Решение. Числитель −3/2+1/8=−11/8, знаменатель 1/4; ответ −11/2.

Упражнение 24. Объясните, почему при tan x = 1/√3 формула-дробь требует осторожности.
Решение. Знаменатель 1−3tan²x равен нулю; одновременно 3x может соответствовать углу, где тангенс не существует.

Упражнение 25. Решите уравнение 3sin x − 4sin³ x = 0.
Решение. sin3x=0, поэтому 3x=πk и x=πk/3, k∈Z.

Упражнение 26. Решите уравнение 4cos³ x − 3cos x = 0.
Решение. cos3x=0; x=π/6+πk/3, k∈Z.

Упражнение 27. Решите уравнение 3sin x − 4sin³ x = 1.
Решение. sin3x=1; 3x=π/2+2πk, значит x=π/6+2πk/3.

Упражнение 28. Решите уравнение 3sin x − 4sin³ x = −1.
Решение. sin3x=−1; 3x=−π/2+2πk, x=−π/6+2πk/3.

Упражнение 29. Решите уравнение 4cos³ x − 3cos x = 1.
Решение. cos3x=1; 3x=2πk, поэтому x=2πk/3.

Упражнение 30. Решите уравнение 4cos³ x − 3cos x = −1.
Решение. cos3x=−1; 3x=π+2πk, x=π/3+2πk/3.

Упражнение 31. Упростите 8cos³ x − 6cos x.
Решение. Это 2(4cos³x−3cosx)=2cos3x.

Упражнение 32. Упростите 6sin x − 8sin³ x.
Решение. Это 2(3sinx−4sin³x)=2sin3x.

Упражнение 33. Упростите 12cos³ x − 9cos x.
Решение. 3(4cos³x−3cosx)=3cos3x.

Упражнение 34. Упростите 9sin x − 12sin³ x.
Решение. 3(3sinx−4sin³x)=3sin3x.

Упражнение 35. Докажите нечётность правой части формулы синуса.
Решение. При замене x на −x выражение 3sinx−4sin³x меняет знак.

Упражнение 36. Докажите чётность правой части формулы косинуса.
Решение. При замене x на −x косинус и его куб не меняются, поэтому всё выражение сохраняется.

Упражнение 37. Преобразуйте sin³ x + cos³ x с понижением степени.
Решение. Получаем [3sinx−sin3x+3cosx+cos3x]/4.

Упражнение 38. Преобразуйте cos³ x − sin³ x с понижением степени.
Решение. Результат: [3cosx+cos3x−3sinx+sin3x]/4.

Упражнение 39. Найдите ∫sin³ x dx с помощью понижения степени.
Решение. ∫(3sinx−sin3x)/4 dx = −3cosx/4 + cos3x/12 + C.

Упражнение 40. Найдите ∫cos³ x dx с помощью понижения степени.
Решение. ∫(3cosx+cos3x)/4 dx = 3sinx/4 + sin3x/12 + C.

Упражнение 41. Проверьте формулу понижения cos³ x при x = 0.
Решение. Слева 1; справа (3·1+1)/4=1.

Упражнение 42. Проверьте формулу понижения sin³ x при x = π/2.
Решение. Слева 1; справа [3·1−sin(3π/2)]/4=(3+1)/4=1.

Упражнение 43. Упростите 4cos³(x/3) − 3cos(x/3).
Решение. По формуле косинуса результат равен cos x.

Упражнение 44. Упростите 3sin(x/3) − 4sin³(x/3).
Решение. По формуле синуса результат равен sin x.

Упражнение 45. Объясните происхождение аргумента 3x.
Решение. Он возникает из представления 3x=2x+x и применения формул сложения вместе с формулами двойного угла.

Заключение

Формулы тройного угла соединяют функции аргумента 3x с кубическими выражениями от sin x, cos x и рациональным выражением от tan x. Их вывод основан на разложении 3x = 2x + x, формулах сложения и последующем использовании формул двойного угла.

Синус тройного угла записывается как 3sin x − 4sin³ x, а косинус — как 4cos³ x − 3cos x. Решение этих равенств относительно кубов даёт удобные формулы понижения степени, применяемые в преобразованиях и интегрировании.

Точная работа с коэффициентами, знаками и допустимыми значениями позволяет быстро сворачивать кубические комбинации, вычислять значения и решать уравнения. Проверка на простых углах делает применение формул осознанным и предупреждает типичные ошибки.