Возведение одночлена в степень

Одночлен представляет собой произведение числового множителя и степеней переменных с неотрицательными целыми показателями. Например, выражение −3a²b⁴ является одночленом: число −3 служит коэффициентом, а a²b⁴ образует буквенную часть. Возведение такого выражения в степень означает, что весь одночлен умножается сам на себя указанное число раз.

Основное правило записывается формулой (caᵐbᵏ)ⁿ = cⁿaᵐⁿbᵏⁿ. Коэффициент c возводится в степень n, а показатель каждой переменной умножается на n. Так, (2a³b)⁴ = 2⁴a¹²b⁴ = 16a¹²b⁴. Все действия выполняются со всем одночленом, заключённым в скобки.

Тема требует внимательности к знаку, скобкам и показателям. Отрицательный коэффициент при чётной степени становится положительным, а при нечётной сохраняет знак минус. Ошибки обычно возникают, когда ученик возводит в степень только коэффициент, прибавляет показатели вместо умножения или забывает распространить показатель степени на один из буквенных множителей.

Что означает возвести одночлен в степень

Запись (−2x²y)³ означает произведение трёх одинаковых множителей: (−2x²y)(−2x²y)(−2x²y). Числа дают (−2)³ = −8, степени x² при умножении складываются и образуют x⁶, а три множителя y дают y³. Поэтому окончательный результат равен −8x⁶y³. Сокращённое правило позволяет получить тот же ответ без развёрнутого умножения.

Почему применяется свойство степени произведения

Одночлен состоит из перемножаемых множителей, поэтому к нему применимо свойство (uv)ⁿ = uⁿvⁿ. Оно означает, что степень произведения равна произведению степеней каждого множителя. Если в одночлене несколько переменных, внешний показатель распространяется на коэффициент и на каждую степень: (3a²b⁵)² = 3²(a²)²(b⁵)².

Далее используется свойство степени степени: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Показатели не складываются, а перемножаются, потому что множитель aᵐ повторяется n раз. Например, (x⁴)³ = x⁴·x⁴·x⁴ = x¹². Сложение показателей возникает только при умножении степеней с одинаковым основанием, а внешняя степень приводит к умножению показателей.

Числовой коэффициент преобразуется по обычным правилам возведения числа в степень. Для положительного коэффициента знак не меняется. Для отрицательного коэффициента результат зависит от чётности показателя. Дробь возводится в степень вместе с числителем и знаменателем: ((−2/3)a²)³ = −8/27·a⁶.

Таблица 1. Элементы одночлена при возведении в степень
 

Стандартный вид результата

После преобразования ответ записывают как одночлен стандартного вида: сначала числовой коэффициент, затем переменные, обычно в алфавитном порядке. Каждая переменная должна встречаться один раз, а её итоговый показатель отражает все выполненные действия. Например, (−4b²a³)² записывают как 16a⁶b⁴, а не как 16b⁴a⁶, если требуется привычный порядок букв.

Если после возведения в степень возникают дополнительные числовые множители, их перемножают. При наличии одинаковых переменных их степени объединяют. Например, 2x·(−3x²y)² = 2x·9x⁴y² = 18x⁵y². Здесь сначала преобразован одночлен в скобках, затем результат умножен на внешний множитель.

Частные случаи и особенности знака

Положительный одночлен при любой натуральной степени остаётся положительным. Отрицательный одночлен при чётной степени становится положительным, потому что отрицательные множители образуют пары. При нечётной степени один отрицательный множитель остаётся без пары, поэтому результат отрицателен: (−5a)⁴ = 625a⁴, но (−5a)³ = −125a³.

Нулевая степень требует отдельного условия. Любой ненулевой одночлен в нулевой степени равен единице: (7a²b)⁰ = 1 при a ≠ 0 и b ≠ 0. Выражение 0⁰ в школьной алгебре не определяют, поэтому правило нельзя применять механически, если сам одночлен может быть равен нулю.

При дробном коэффициенте степень распространяется на всю дробь. Например, ((3/4)x²y)² = 9/16·x⁴y². Если коэффициент записан десятичной дробью, его можно возвести непосредственно или сначала представить обычной дробью. Скобки особенно важны для отрицательных дробей: (−0,5a)² = 0,25a².

Таблица 2. Основные случаи возведения одночлена в степень
 

Связь с умножением одночленов

Правило возведения в степень выводится из многократного умножения одночлена на самого себя. При каждом умножении коэффициенты перемножаются, а показатели одинаковых переменных складываются. Если операция повторяется n раз, коэффициент превращается в cⁿ, а показатель m становится суммой m + m + … + m, то есть произведением mn.

Понимание этой связи помогает не путать два разных правила. При умножении aᵐ·aᵏ показатели складывают: aᵐ⁺ᵏ. При возведении (aᵐ)ⁿ показатели перемножают: aᵐⁿ. Например, x²·x³ = x⁵, но (x²)³ = x⁶. Внешние скобки показывают, какое действие выполняется.

Степень одночлена как алгебраического выражения после преобразования также меняется. Если исходный одночлен имеет степень d, то при возведении в натуральную степень n степень результата равна dn. Так, степень одночлена 2a³b² равна 5, а степень (2a³b²)⁴ равна 20, поскольку показатели 12 и 8 в сумме дают 20.

Алгоритм возведения одночлена в степень

• Убедиться, что всё выражение, которое требуется возвести в степень, заключено в скобки.
• Определить числовой коэффициент, буквенную часть и внешний показатель степени.
• Возвести коэффициент в указанную степень, отдельно проверив знак результата.
• Умножить показатель каждой переменной на внешний показатель степени.
• Не пропустить переменные, записанные без показателя: их показатель равен единице.
• Перемножить дополнительные числовые множители, если они находятся вне скобок.
• Объединить степени одинаковых переменных при последующем умножении одночленов.
• Записать коэффициент и буквенную часть в стандартном порядке.
• Проверить ответ повторным развёртыванием на простом примере и оценить знак.

Таблица 3. Правильные преобразования и характерные ошибки
 

Как проверить полученный результат

Первая проверка касается знака. Если основание отрицательное, чётная степень должна дать положительный коэффициент, а нечётная — отрицательный. Например, результат (−2x)⁶ не может начинаться с минуса. Эта быстрая проверка позволяет обнаружить ошибку ещё до анализа показателей.

Вторая проверка относится к показателям. Каждый исходный показатель должен быть умножен на внешний. Если в примере (3a²b⁴)⁵ получены степени a¹⁰ и b²⁰, буквенная часть преобразована верно. Дополнительно можно сравнить степень всего одночлена: исходная степень 6 после возведения в пятую степень должна стать равной 30.

Мини-шпаргалка по теме

• Основное правило: (caᵐbᵏ)ⁿ = cⁿaᵐⁿbᵏⁿ.
• Внешний показатель распространяется на коэффициент и каждый буквенный множитель.
• При возведении степени в степень показатели перемножаются.
• Отрицательный коэффициент в чётной степени становится положительным.
• Отрицательный коэффициент в нечётной степени остаётся отрицательным.
• Переменная без записанного показателя имеет показатель 1.
• Дробный коэффициент возводится в степень вместе с числителем и знаменателем.
• Ненулевой одночлен в нулевой степени равен 1.
• После преобразования результат записывается в стандартном виде.
• Проверка: знак, коэффициент, показатели всех переменных и общая степень одночлена.

Типичные ошибки и способы их предупреждения

Ошибка 1. В степень возводят только коэффициент. Неверно: (2a³b)² = 4a³b. Внешний показатель относится ко всему произведению, поэтому правильно: (2a³b)² = 4a⁶b². Перед вычислением полезно мысленно поставить степень над каждым множителем.

Ошибка 2. Показатели складывают вместо умножения. Запись (x⁴)³ = x⁷ неверна. Здесь степень x⁴ повторяется три раза, поэтому показатель равен 4·3 = 12. Сложение 4 + 3 не соответствует ни одному используемому свойству.

Ошибка 3. Теряется знак отрицательного коэффициента. Например, (−3a)³ = −27a³, а не 27a³. Чётность внешнего показателя следует определить до вычисления числовой степени.

Ошибка 4. Пропускается переменная с показателем один. В выражении (5xy²)⁴ буква x также возводится в четвёртую степень: результат равен 625x⁴y⁸. Отсутствующий показатель нужно мысленно дописать как единицу.

Ошибка 5. Не используются скобки. Выражения −2a² и (−2a)² имеют разный смысл: в первом случае минус не обязательно входит в основание степени, во втором входит. При отрицательном одночлене скобки определяют знак результата.

Ошибка 6. Ответ не приводится к стандартному виду. После нескольких действий могут оставаться отдельные коэффициенты и повторяющиеся переменные. Их нужно объединить: 3a·(2a²b)² = 3a·4a⁴b² = 12a⁵b².

Практические рекомендации

Решение удобно оформлять в две строки. Сначала распределяют степень по множителям: (−2a³b²)⁴ = (−2)⁴(a³)⁴(b²)⁴. Затем вычисляют коэффициент и показатели: 16a¹²b⁸. Такое оформление показывает применение каждого свойства и снижает вероятность пропуска буквы.

Для проверки полезно подчеркнуть коэффициент одной чертой, показатели переменных — двумя, а внешний показатель обвести. После вычисления следует поочерёдно сверить каждый элемент. В сложном выражении сначала выполняют степени, затем умножение и только после этого приводят одночлен к стандартному виду.

Сорок практических упражнений

Упражнения расположены от распознавания элементов одночлена и прямого применения правила к заданиям с отрицательными и дробными коэффициентами, нулевой степенью и комбинированными преобразованиями. После каждого задания приведено решение.

Упражнение 1. Назовите коэффициент и буквенную часть одночлена −7a³b².
Решение. Коэффициент равен −7, буквенная часть — a³b².

Упражнение 2. Представьте (2x)³ как произведение одинаковых множителей.
Решение. (2x)³ = (2x)(2x)(2x).

Упражнение 3. Возведите одночлен 3a² в квадрат.
Решение. (3a²)² = 3²a⁴ = 9a⁴.

Упражнение 4. Вычислите (2xy)⁴.
Решение. (2xy)⁴ = 2⁴x⁴y⁴ = 16x⁴y⁴.

Упражнение 5. Возведите одночлен 5m³n² в квадрат.
Решение. (5m³n²)² = 25m⁶n⁴.

Упражнение 6. Вычислите (−2a)².
Решение. (−2a)² = 4a²; чётная степень даёт положительный коэффициент.

Упражнение 7. Вычислите (−2a)³.
Решение. (−2a)³ = −8a³; нечётная степень сохраняет знак минус.

Упражнение 8. Найдите значение (4x²y)³.
Решение. (4x²y)³ = 64x⁶y³.

Упражнение 9. Возведите одночлен −3p²q⁴ в квадрат
.Решение. (−3p²q⁴)² = 9p⁴q⁸.

Упражнение 10. Вычислите (−3p²q)³.
Решение. (−3p²q)³ = −27p⁶q³.

Упражнение 11. Найдите (a⁵b³)⁴.
Решение. (a⁵b³)⁴ = a²⁰b¹².

Упражнение 12. Вычислите (10x²)².
Решение. (10x²)² = 100x⁴.

Упражнение 13. Возведите одночлен 0,5a³b в квадрат.
Решение. (0,5a³b)² = 0,25a⁶b².

Упражнение 14. Вычислите ((2/3)x²y)³.
Решение. ((2/3)x²y)³ = 8/27·x⁶y³.

Упражнение 15. Найдите ((−1/2)ab²)⁴.
Решение. ((−1/2)ab²)⁴ = 1/16·a⁴b⁸.

Упражнение 16. Вычислите (−0,2m²n³)³.
Решение. (−0,2m²n³)³ = −0,008m⁶n⁹.

Упражнение 17. Найдите (x⁷)⁵.
Решение. (x⁷)⁵ = x³⁵.

Упражнение 18. Вычислите (a²b³c)⁶.
Решение. (a²b³c)⁶ = a¹²b¹⁸c⁶.

Упражнение 19. Исправьте ошибку: (2a³)² = 4a⁵.
Решение. Показатели нужно умножать: (2a³)² = 4a⁶.

Упражнение 20. Исправьте ошибку: (−4x)³ = 64x³.
Решение. Нечётная степень сохраняет минус: (−4x)³ = −64x³.

Упражнение 21. Вычислите (−a²b)⁵.
Решение. (−a²b)⁵ = −a¹⁰b⁵.

Упражнение 22. Найдите (−m³n²)⁶.
Решение. (−m³n²)⁶ = m¹⁸n¹².

Упражнение 23. Вычислите 2x·(3x²y)².
Решение. 2x·9x⁴y² = 18x⁵y².

Упражнение 24. Упростите −3a²·(−2ab)³.
Решение. (−2ab)³ = −8a³b³, поэтому −3a²·(−8a³b³) = 24a⁵b³.

Упражнение 25. Вычислите (2a²b)³·(−a b²).
Решение. 8a⁶b³·(−ab²) = −8a⁷b⁵.

Упражнение 26. Упростите (−3x²y)²·2xy³.
Решение. 9x⁴y²·2xy³ = 18x⁵y⁵.

Упражнение 27. Найдите степень одночлена (2a³b²)⁴.
Решение. Получается 16a¹²b⁸; степень одночлена равна 12 + 8 = 20.

Упражнение 28. Сравните выражения (−2x)² и −2x².
Решение. (−2x)² = 4x², тогда как −2x² остаётся отрицательным при x ≠ 0; выражения не равны.

Упражнение 29. Найдите (7a²b)⁰ при ненулевых a и b.
Решение. Любой ненулевой одночлен в нулевой степени равен 1.

Упражнение 30. Определите знак (−5x³y²)¹².
Решение. Внешняя степень чётная, поэтому коэффициент результата положительный.

Упражнение 31. Определите знак (−5x³y²)¹¹.
Решение. Внешняя степень нечётная, поэтому коэффициент результата отрицательный.

Упражнение 32. Найдите показатель степени x в выражении (4x⁵y²)⁷.
Решение. Показатель x равен 5·7 = 35.

Упражнение 33. Найдите показатель степени y в выражении (−2x³y⁴)⁶.
Решение. Показатель y равен 4·6 = 24.

Упражнение 34. Вычислите ((−3/5)a²b³)².
Решение. ((−3/5)a²b³)² = 9/25·a⁴b⁶.

Упражнение 35. Упростите 5a·((1/2)a²b)³.
Решение. ((1/2)a²b)³ = 1/8·a⁶b³, поэтому результат равен 5/8·a⁷b³.

Упражнение 36. Найдите значение (−2x²y)³ при x = 1 и y = −1.
Решение. Сначала (−2x²y)³ = −8x⁶y³. При x = 1, y = −1 получаем 8.

Упражнение 37. Упростите (3a²b)²·(2ab³)³.
Решение. 9a⁴b²·8a³b⁹ = 72a⁷b¹¹.

Упражнение 38. Найдите одночлен, квадрат которого равен 49a⁶b⁴, если коэффициент искомого одночлена положителен.
Решение. Искомый одночлен равен 7a³b², поскольку (7a³b²)² = 49a⁶b⁴.

Упражнение 39. Упростите (−2a²b³)⁴·(−3ab)².
Решение. 16a⁸b¹²·9a²b² = 144a¹⁰b¹⁴.

Упражнение 40. Вычислите [((−1/2)x³y²)²]³.
Решение. Степени можно перемножить: ((−1/2)x³y²)⁶ = 1/64·x¹⁸y¹².

Контрольные вопросы для самопроверки

• Из каких частей состоит одночлен?
• Как формулируется правило возведения произведения в степень?
• Что происходит с показателями переменных при возведении одночлена в степень?
• Как определить знак результата при отрицательном коэффициенте?
• Почему в выражении (aᵐ)ⁿ показатели перемножаются?
• Как возводится в степень дробный коэффициент?
• При каком условии одночлен в нулевой степени равен единице?
• Как привести полученный результат к стандартному виду?
• Какими способами можно проверить правильность ответа?

Заключение

Возведение одночлена в степень основано на двух свойствах: степени произведения и степени степени. Коэффициент возводится в заданную степень, а показатель каждой переменной умножается на внешний показатель. В результате снова получается одночлен, который следует записать в стандартном виде.

Надёжное решение требует последовательной проверки всех элементов выражения. Нужно увидеть скобки, выделить коэффициент и буквенную часть, определить чётность степени, преобразовать каждый множитель и только затем объединить результат. Такой порядок предотвращает потерю знака, пропуск переменной и неправильное действие с показателями.

Регулярная тренировка помогает воспринимать правило не как набор механических действий, а как сокращённую запись многократного умножения. Ученик начинает уверенно различать сложение и умножение показателей, контролировать знак отрицательного коэффициента и применять свойства степеней в более сложных алгебраических преобразованиях.