Задачи на работу (ЕГЭ по математике)

Почему задачи на работу вызывают затруднения

Во многих вариантах профильного ЕГЭ встречаются текстовые задачи, в которых необходимо определить время выполнения работы, производительность исполнителей или объём выполненной работы. На первый взгляд подобные задания отличаются друг от друга. В одном условии речь идёт о двух рабочих, в другом — о насосах, заполняющих резервуар, в третьем — о принтерах, печатающих документы, или о роботах, собирающих изделия.

Несмотря на разнообразие сюжетов, математическая основа всех этих задач одинакова. Если научиться видеть общую модель, решение становится значительно проще. Именно поэтому при подготовке к экзамену полезно сосредоточиться не на запоминании отдельных алгоритмов, а на понимании взаимосвязи между основными величинами.

Что общего у всех задач на работу

Любая задача этого типа описывает некоторый процесс, который выполняется с определённой скоростью.

Исполнителем может быть человек, строительная бригада, станок, конвейер, компьютерная программа или любое техническое устройство. Независимо от сюжета рассматриваются три величины:

• объём работы;
• производительность;
• время выполнения.

Обычно полный объём работы принимают за единицу. Тогда производительность показывает, какую часть всей работы исполнитель выполняет за единицу времени.

Например, если мастер способен выполнить заказ за 8 часов, то за один час он выполняет

1/8 всей работы.

Именно это значение используют при составлении математической модели. 

Главная зависимость

Все задачи на работу основаны на простой зависимости

A = pt,

где

A — объём выполненной работы;

p — производительность;

t — время работы.

Если известны две величины, третью всегда можно определить с помощью этой формулы.

При этом гораздо важнее понимать смысл зависимости, чем механически запоминать запись. Производительность показывает, какая часть работы выполняется за единицу времени. Поэтому общий объём получают умножением производительности на продолжительность работы.

Во многих экзаменационных задачах объём работы принимают равным единице. Благодаря этому вычисления становятся значительно проще, а основное внимание уделяется составлению математической модели.

Как определить математическую модель

Перед тем как составлять уравнение, полезно ответить на несколько вопросов:

1. Сколько исполнителей участвует в работе?
2. Работают ли они одновременно?
3. Изменяется ли количество исполнителей в процессе выполнения задания?
4. Все ли работают с одинаковой производительностью?

Ответы на эти вопросы позволяют выбрать правильную модель решения.

Если исполнители работают одновременно и независимо друг от друга, их производительности складываются.

Если часть работы выполняется последовательно, общий объём определяют как сумму выполненных частей.

Когда один исполнитель начинает работу позже другого или заканчивает раньше, приходится учитывать различные промежутки времени для каждого участника.

Именно анализ условия помогает избежать большинства ошибок ещё до начала вычислений.

Почему удобно составлять таблицу

При решении задач на работу удобно использовать таблицу с тремя графами:

1. объём работы;
2. производительность;
3. время.

Такой способ оформления позволяет сразу увидеть неизвестные величины и установить связь между ними. Особенно полезна таблица в задачах, где участвуют несколько исполнителей или работа выполняется в несколько этапов.

Кроме того, таблица помогает избежать ошибок при составлении уравнения и значительно облегчает проверку полученного результата.

В следующих разделах рассмотрим несколько задач, построенных по образцу профильного ЕГЭ, и покажем, как применять эти принципы на практике.

Разбор заданий ЕГЭ

Независимо от сюжета, решение задач на работу начинается с определения производительности каждого исполнителя. После этого устанавливают, работают ли участники одновременно или последовательно, и составляют математическую модель.

Пример 1. Два сервисных робота

Условие

Два сервисных робота выполняют диагностику производственной линии. Первый робот способен завершить проверку за 12 часов, второй — за 18 часов.

За какое время они выполнят работу, если будут работать одновременно?

Решение

Производительность первого робота:

1/12 работы в час.

Производительность второго робота:

1/18 работы в час.

Совместная производительность равна

1/12 + 1/18 = 5/36 работы в час.

Следовательно, вся работа будет выполнена за

1 : 5/36 = 36/5 = 7,2 часа, то есть 7 часов 12 минут.

Ответ: 7 часов 12 минут.

Пример 2. Обработка цифрового архива

Условие

Автоматизированная система может обработать весь архив за 15 часов. После трёх часов работы к ней подключили второй сервер, который самостоятельно выполняет такой же объём работы за 10 часов.

Через сколько времени после подключения второго сервера обработка будет завершена?

Решение

За первые три часа первая система выполнила

3/15 = 1/5 всей работы.

Осталось выполнить

1 − 1/5 = 4/5 работы.

Совместная производительность серверов:

1/15 + 1/10 = 1/6 работы в час.

Время выполнения оставшейся части:

(4/5) : (1/6) = 24/5 = 4,8 часа, то есть 4 часа 48 минут.

Ответ: 4 часа 48 минут.

Пример 3. Работа производственной линии

Условие

Автоматическая линия выпускает всю партию изделий за 20 часов. После модернизации её производительность увеличилась на 25 %.

За сколько часов линия изготовит ту же партию после модернизации?

Решение

Первоначальная производительность равна

1/20 работы в час.

После увеличения на 25 % она составит

1,25 · 1/20 = 1/16 работы в час.

Следовательно, вся партия будет изготовлена за

16 часов.

Ответ: 16 часов. 

Пример 4. Совместная работа специалистов

Условие

Первый специалист выполняет настройку программного комплекса за 9 часов, второй — за 12 часов. В течение первых 4 часов они работали вместе, после чего второй специалист прекратил работу, а первый продолжил выполнять оставшуюся часть самостоятельно.

Сколько времени первый специалист работал самостоятельно?

Решение

Совместная производительность:

1/9 + 1/12 = 7/36 работы в час.

За четыре часа специалисты выполнили

4 · 7/36 = 7/9 всей работы.

Осталось выполнить

1 − 7/9 = 2/9 работы.

Первый специалист выполняет

1/9 работы в час.

Следовательно, оставшуюся часть он завершит за

(2/9) : (1/9) = 2 часа.

Ответ: 2 часа.

Пример 5. Заполнение резервуара

Условие

Первый насос способен заполнить резервуар за 8 часов, второй — за 12 часов. В течение первых 2 часов работал только первый насос, после чего подключили второй.

Через сколько времени после включения второго насоса резервуар будет заполнен?

Решение

За первые два часа первый насос заполнил

2/8 = 1/4 резервуара.

Осталось заполнить

3/4 объёма.

Совместная производительность насосов:

1/8 + 1/12 = 5/24 резервуара в час.

Время заполнения оставшейся части:

(3/4) : (5/24) = 18/5 = 3,6 часа, то есть 3 часа 36 минут.

Ответ: 3 часа 36 минут.

Как избежать типичных ошибок

Большинство ошибок в задачах на работу возникает не во время вычислений, а на этапе построения математической модели. Даже если все арифметические действия выполнены правильно, неверно выбранная зависимость между величинами приводит к ошибочному ответу.

Прежде всего необходимо определить, работают ли исполнители одновременно или поочерёдно. Если работа выполняется совместно, складывают не время выполнения, а производительности. Именно эта ошибка встречается чаще всего.

Следующий важный момент — правильно определить объём выполненной работы после каждого этапа. Если один исполнитель начинает работу раньше или заканчивает позже другого, полезно вычислить, какая часть общего объёма уже выполнена, а какая остаётся.

В задачах, где производительность изменяется, необходимо внимательно следить за тем, когда произошло изменение условий. Например, после модернизации оборудования или подключения дополнительного исполнителя дальнейшие вычисления выполняют уже с новой производительностью.

Чтобы избежать подобных ошибок, рекомендуется придерживаться одной последовательности действий:

1. определить полный объём работы;
2. вычислить производительность каждого исполнителя;
3. установить, какие этапы работы выполняются одновременно, а какие — последовательно;
4. составить математическую модель;
5. выполнить вычисления и проверить полученный результат.

Такой алгоритм подходит практически для всех текстовых задач на работу, встречающихся на профильном ЕГЭ.

Проверьте себя

Решите задачи самостоятельно. Постарайтесь сначала определить математическую модель, а затем переходите к вычислениям.

Задача 1

Автоматический сортировочный комплекс способен обработать всю партию посылок за 24 часа. После модернизации его производительность увеличилась на 20 %.

За сколько часов комплекс обработает ту же партию после модернизации?

Задача 2

Первый оператор центра обработки данных выполняет резервное копирование всей базы за 18 часов, второй — за 12 часов.

Через какое время работа будет завершена, если оба оператора начнут её одновременно?

Задача 3

Робот-сварщик способен выполнить заказ за 16 часов. После четырёх часов его работы подключили второй робот, который самостоятельно выполняет такой же заказ за 24 часа.

Через сколько времени после подключения второго робота заказ будет полностью выполнен?

Задача 4

Первая автоматическая линия производит всю партию продукции за 10 часов, вторая — за 15 часов.

Какую часть партии они изготовят за 3 часа совместной работы?

Задача 5

Первый насос заполняет резервуар за 6 часов, второй — за 9 часов. Первые два часа работал только первый насос, затем включили второй.

Через сколько времени после включения второго насоса резервуар окажется полностью заполнен?

Задача 6

Бригада монтажников может выполнить весь объём работ за 14 дней. После внедрения нового оборудования производительность увеличилась на 40 %.

За сколько дней будет выполнена работа после повышения производительности?

Задача 7

Две производственные линии совместно выпускают всю партию изделий за 8 часов. Производительность первой линии в 1,5 раза выше производительности второй.

За сколько часов первая линия изготовит всю партию самостоятельно?

Ответы:

1. 20 часов.
2. 7 часов 12 минут.
3. 7 часов 12 минут.
4. 1/2 партии.
5. 2 часа 24 минуты.
6. 10 дней.
7. 13 часов 20 минут.

Итоги

Задачи на работу проверяют не столько умение выполнять вычисления, сколько способность переводить описание реальной ситуации в математическую модель. Независимо от того, говорится ли в условии о людях, механизмах, производственных линиях или компьютерных системах, решение строится на одинаковых принципах.

Главная идея состоит в том, что производительность показывает объём работы, выполняемый за единицу времени. Именно поэтому при совместной работе складывают производительности исполнителей, а не время выполнения задания.

Во время подготовки к ЕГЭ полезно решать задачи с различными сюжетами. Это помогает увидеть общую математическую модель и не зависеть от конкретной формулировки условия. Если выпускник понимает взаимосвязь между объёмом работы, производительностью и временем, он сможет уверенно решить большинство экзаменационных задач этого типа.