Числовые и буквенные выражения

Рассмотрим в этой теме численные и буквенные выражения и их запись. 

Численные выражения

Как можно заметить из названия, данный вид выражений будет содержать только числа. Причём у них могут быть все знаки арифметических действий (+, –, ×, ÷) — вот почему они также называются и арифметическими выражениями.

Рассмотрим, какие будут являться таковыми, а какие — нет:

1. 7 – 8 ∙ ÷ × 1 + 3.

2. 3 – 2 × 6 + 10.

3. 1 + 2 + 3.

4. 2 × + ÷ 1. 

Пункты 1 и 4 — набор символов (не имеют математического смысла). Пункты 2 и 3 будут являться числовыми выражениями. Немаловажным являются понятия ­«вычисления значения выражения», «порядка действий» и «нахождение значения арифметического выражения»:

1. Вычислить значение выражения — это выполнение всех действий, которые  в нём есть, используя правила арифметики и, в частности, порядок действий.

2. Порядок действий — правила, которыми пользуются в примерах и математических выражениях для получения правильного ответа. Нарушение их будет означать ненахождение правильного ответа на поставленное условие (так сначала считаются числа в скобках, затем умножение и деление, после — сложение и вычитание).

3. Значение выражения — это число, которое мы получим после выполнения всех действий. Попробуем посчитать его у выражений в пунктах 2 и 3 выше:
   

   a.     3 – 2 × 6 + 10 = 3 – 12 + 10 = 1;

   b.     1 + 2 + 3 = 6. 

Разберём задания, где надо сначала составлять выражения, а после вычислить их.

1. К числу 36 прибавить произведение чисел 2 и 5.
   36 + 2 × 5 = 46.

2. Из разности чисел 15 и 8 вычесть частное от деления 18 на 9.
   (15 – 8) – (18 ÷ 9) = 5.

3. Сложить разность чисел 5 и 6 с разностью 3 и 4.
   (5 – 6) + (3 – 4) = –2. 

Также решим задачу. На заводе было изготовлено в двух цехах 20 и 26 деталей соответственно. На заказ необходимо сделать 50 деталей. Сколько деталей нужно ещё доделать?

Решение. Для начала узнаем, сколько всего деталей было сделано в двух цехах:

1. 20 + 26 = 46 (д.) — было в двух цехах.
   

   Далее подсчитаем остаток от сделанного количества:

2. 46 – 50 = –4 (д.) — осталось сделать 4 детали, так как число сделанных оказалось меньше необходимого количества. 

Ответ: 4 детали осталось сделать.

Буквенные выражения

Ими являются такие числовые выражения, в которых, помимо чисел, присутствуют и буквы. Они также называются алгебраическими выражениями. Используются буквы латинского алфавита, причём преимущественно прописные:

1. 7 × x – 2 × x.

2. a – b × c + 4. 

Разные буквы соответствуют разным значениям (числовым), но бывают случаи, когда они могут быть равны между собой, например, a = b или x = y. 

Здесь также будет присутствовать понятие «значение выражения», которое означает вычисление числового результата после подстановки чисел вместо букв. 

Примеры: 

Найдите значения выражения при a = 4, b = 8, c = 6,  x = 1. 

Решение:

1. 7 × x – 2 × x = 7 × 1 – 2 × 1 = 5.

2. a – b × c + 4 = 4 – 8 × 6 + 4 = –40. 

Обратите внимание, что с буквенными выражениями работают все правила арифметики так же, как и с числовыми. Например, правило перемены мест слагаемых и множителей: 

a + b = b + a и c × d = d × c. 

Запись буквенных выражений

1. Правило записи знака умножения между буквой и числом: 3 × a и a × 3 — когда число стоит перед буквой, то знак умножения опускают, когда наоборот — его обязательно ставят.

2. Между выражением в скобках и буквой — ставить всегда, вне зависимости от положения буквы (или числа) относительно скобки. То есть:
   

   (1 + 2) × x и x × (1 + 2)

   или

   (4 – 3) × 2 и 2 × (4 – 3).

3. Запись множителей с буквами: число всегда ставится перед буквой в записи — 2x, 3a, 5abc.
   

4. Знак деления обычно заменяется дробной чертой, и деление записывается дробью: