Наибольший общий делитель

Наибольший общий делитель или НОД – одна из ключевых тем в математике, которой уделяется немало времени. Все дело в том, что изучение обыкновенных дробей и операций над ними невозможно без ее понимания.

Что такое НОД

Первое, о чем важно помнить – общий делитель (ОД). В математике под ОД подразумевают значение, позволяющие делить нацело каждое число из приведенной выборки. Как известно, все числа делятся нацело на 1, поэтому в любой выборке всегда есть как минимум один ОД. 

Под наибольшим общим делителем чисел (НОД) подразумевают наибольшее возможное значение, являющееся ОД для двух чисел. Для наглядности рассмотрим “21” и “28”. Нетрудно догадаться, что их НОД – 7. Это наибольший возможный делитель, не оставляющий остатка. 

НОД находят как для двух, так и для большего количества чисел. Это будет наибольшее значение, на которое делятся все числа в выборке нацело одновременно.

Как найти наибольший общий делитель

Общий алгоритм выглядит следующим образом:

1. Находим и выписываем все делители “a”.

2. Выписываем все вероятные делители “b”.

3. Выбираем среди выписанных чисел общие, и затем подчеркиваем наибольшее из них. 

Примеры нахождения НОД

Пример 1: НОД чисел 12 и 18

НОД (12, 18) = 6

Пример 2: НОД чисел 35 и 49

НОД (35, 49) = 7

Методы нахождения НОД

Выделяют два основных способа, в зависимости от сложности решения можно выбрать один из них.

Разложение на множители

Этот метод предполагает, что для нахождения НОД нескольких чисел необходимо:

1. Разложить выбранные числа на множители.

2. Затем важно проанализировать полученные в итоге множители и найти общие.

3. В конце алгоритма необходимо перемножить их.

Например, у нас есть данные 80 и 95.

Выполним первый шаг

80 = 2*2*2*2*5

96= 2*2*2*2*2*3

Переходим ко второму шагу и выписываем общие множители, находим их произведение:

2*2*2*2=16.

Ответ: НОД (80, 96)=16.

Алгоритм Евклида

Данный метод основан на последовательном делении. Суть метода в том, что если меньше из чисел – делитель большего, то именно оно и станет их НОД.

Проще всего использовать способ с помощью следующей формулы: НОД (a, b) = НОД (b, c). При этом под c подразумевают остаток деления a на b.

Рассмотрим на конкретном примере. 

У нас есть числа 7 и 14. Так как 7 делится нацело на себя и 14 также делится на 7 без остатка, но можно сделать вывод, что 7 является общим делителем для этих двух чисел.

Возможен вариант, при котором деление на меньше число нацело невозможно. В таком случае необходимо:

1. Найти частное.

2. Меньшее из двух чисел разделить на полученный при делении остаток.

3. Далее взять первый остаток от деления и поделить его на второй.

4. Далее разделить второй остаток на третий.

5. Процедура будет продолжаться до тех пор, пока в остатке не выйдет ноль. Последний делитель и будет считаться НОД. 

Найдем НОД для чисел 134 и 90. При вычислении будем записывать остатки в скобках, чтобы наглядно видеть картину. 

134:90 = 1 (44)

90:44 = 2 (2)

44:2 = 22

Последнее значение в нашей цепочке делителей – 2, следовательно, и НОД (134, 90) = 2.

А если чисел больше?

Существует ряд ситуаций, когда необходимо найти НОД для большего количества чисел. В таком случае необходимо действовать следующим образом:

1. Среди трех чисел в выборке выбрать два, для которых проще найти НОД и вычислить его.

2. Далее можно искать НОД для оставшегося числа и полученного в первом пункте значения.

Таким образом вычислить НОД достаточно просто. Предлагаем для закрепления выполнить несколько заданий.

Задание 1

Найдите НОД для чисел 30, 36 используя метод разложения.

Задание 2

Используя алгоритм Евклида, найдите НОД для чисел 118 и 74.

Задание 3

Выпишите числа, для которых значение 5 будет являться НОД: 35, 48, 50, 91, 100, 55.

Задание 4

Используя любой удобный для вас метод, найдите НОД для чисел 32, 84, 96. 

Понимание различных способов нахождения НОД и его свойств позволяет ученикам лучше разобраться в числовых связях и научиться эффективно решать самые разные задачи. Важно выбирать тот метод вычисления НОД, который наиболее подходит для конкретной ситуации, и помнить о его свойствах, которые помогут упростить вычисления и глубже понять структуру чисел.