Наименьшее общее кратное

Одна из ключевых тем, без которых невозможно работать с обыкновенными дробями – нахождение наименьшего общего кратного. В частности, знание алгоритмов решения НОК необходимо для дальнейшего приведения дробей к общему знаменателю для вычисления суммы или разности дробей с разными знаменателями. Обычно эту тему углубленно разбирают в 5 и 6 классе и посвящают ей не один урок.

Что такое НОК простыми словами

Под наименьшим общим кратным подразумевают такое наименьшее натуральное, то есть, целое число, делящееся без остатка на два или более чисел одновременно. 

Помогает при работе над сложением и вычитаем дробей, имеющих разные знаменатели. Данное значение одновременно кратно числам, указанным в условиях той или иной задачи. 

Обычно его обозначают следующим образом:

НОК (a, b) = c. 

Существует несколько способов нахождения НОК, каждый из которых имеет свой четкий алгоритм, зная который, можно без труда вычислить необходимое значение.

Базовый алгоритм НОК

Существует простой базовый алгоритм поиска НОК. Выглядит он следующим образом:

1. Разложить числа, для которых необходимо найти НОК, выписав все множители. Для этого постепенно делим числа нацело, начиная с наименьшего делителя и  до тех пор, пока число не перестанет делиться нацело. К примеру, 10 можно разделить сначала на 2, получив 5, затем, опираясь на признаки делимости числа – на 5.

2. Все полученные в ходе разложения, необходимо выписать по одному разу с указанием степени, число которой указывает на то, сколько раз число встречается в записи разложения. Например, если взять число 8 и разложить его на множители, мы получим 8=2*2*2. Таким образом, число 2 встречается 3 раза, что и является показателем степени.

3. Каждое из чисел взять с наибольшим показателем степени.

4. Вычислить произведение полученных степеней.

Проще говоря, необходимо к множителям большего числа добавить множители, которые встречаются только у меньшего числа.

К примеру, нам необходимо найти НОК для чисел 16 и 36.

Для этого раскладываем числа:

16=2*2*2*2 = 2⁴

36=2*2*9 = 2²*9¹

Так как 2 встречается два раза, смотрим на показатели степени. Большим числом будет 24. Выписываем его и добавляем 9. 

Перемножаем полученные числа:

2⁴*9¹= 144. 

Таким образом, НОК (16,36) =144

Произведение множителей

Есть еще один способ, схожий с рассмотренным выше. Он также подразумевает разложение чисел на множителе и последующее их перемножение. Алгоритм вычисления следующий:

• Раскладываем числа на множители.
• Выписываем все множители первого числа и добавляем к ним те множители второго, которые не встретились в первом.
• Перемножаем значения и находим НОК.

Для примера возьмем все те же значения 16 и 36.

Вначале раскладываем их на множители:

16=2*2*2*2

36=2*2*9

Выписываем множители и перемножаем их между собой: 2*2*2*2*9=144 

Как видите, ответ получился таким же, как и в первом случае. При этом вам не требуется уметь работать со степенью числа. 

Решение НОК через НОД

Еще один способ поиска – через НОД – наибольшее общее делимое. Он так же прост и понятен, как и предыдущие два. Основная формула для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) двух чисел выглядит следующим образом:

Где:

• a и b — два числа,
• НОД (a, b) — наибольший общий делитель этих значений,
• ∣a⋅b∣ — произведение чисел a и b.

Формула использует взаимосвязь между НОК и НОД, позволяя легко вычислить НОК через произведение чисел и их НОД.

Рассмотрим детальнее: 

1. Первым шагом станет нахождение НОД тех чисел, для которых мы ищем НОК.
2. На втором этапе необходимо умножить первое число на второе и найти частное полученного числа и НОД.
   

Возьмем для примера все те же значения 16 и 36.

Вычислим НОД, разложив числа на множители:

16=2*2*2*2

36=2*2*9. 

Находим НОД: 2*2=4. 

Далее найдем произведение и разделим его на полученное значение:

(16*36)/4=144.

Как видим, ответ совпадает с полученными ранее.

НОК простых чисел

Отдельно стоит отметить, что НОК простых чисел, то есть тех, которые делятся нацело только на себя и на единицу всегда будет их произведением.

Например, НОК (2, 7) = 2*7 = 14. 

Далеко не всегда условия задачи подразумевают нахождение НОК для двух чисел. Иногда их может быть три или четыре. Как поступить в таком случае? В целом, алгоритм нахождения остается тем же, увеличивается лишь количество переменных, которые необходимо предварительно разложить на множители или найти НОД.

К примеру, нам необходимо найти НОК чисел 5, 6, 14.

Для начала произведем разложение на множители:

5 = 5*1

6=2*3

14=2*7. 

Найдем произведение множителей первых двух чисел и не повторяющиеся множители третьего:

5*1*2*3*7=210

НОК (5,6,14) =210.

НОК отрицательных чисел

Еще один момент, на котором необходимо акцентировать внимание – нахождение НОК для чисел в том случае, если хотя бы одно из них является отрицательным. В таком случае необходимо отрицательное число заменить на противоположное ему, то есть, сменить знак минуса на плюс. Затем провести все необходимые вычисления по одному из перечисленных алгоритмов. 

Связано это с тем, что вне зависимости от того, является ли число положительным или отрицательным, кратные ему числа будут одинаковыми.

Найти НОК можно разными способами. Все, что для этого необходимо – знать признаки делимости числа и уметь раскладывать их на множители.

Задания

Предлагаем самостоятельно решить несколько простых заданий для закрепления материала.

Задание 1

Найдите НОК следующих чисел 2, 15.

Ответ: 30

Задание 2

Найдите НОК для чисел 13, 15, 30.

Ответ: 390

Задание 3

У Маши есть моток веревки. Определите его длину, если известно, что от него можно отрезать веревки длинной в 7 или 18 метров? 

Ответ: 126 метров.

Задание 4

Коля берет с собой в магазин некоторую минимальную сумму денег, достаточную для того, чтобы купить под расчет батончики по 15 рублей или же, если их не будет, шоколадки по 25 рублей. Какую минимальную сумму планирует потратить Коля?

Ответ: 75 рублей.

Какой вывод мы можем сделать? Общим кратным двух натуральных чисел a и b называется число, которое одновременно делится на a и b без остатка. Наименьшее из таких чисел называется наименьшим общим кратным и обозначается как НОК(a, b). Наименьшее общее кратное используется во многих задачах, таких как приведение дробей к общему знаменателю или решение уравнений с периодичностью.