Разложение числа на простые множители

Простым множителем является число (чаще всего цифра), которое является простым числом. Напомним, что простым числом называется такое число, которое делится нацело только на само себя и на единицу.

Отсюда следует то, что для каждого составного числа можно найти простые множители.

Пример. Найти простые множители для чисел 10, 15, 9.

Решение. Распишем числа:

10 = 1 · 2 · 5 · 10.

15 = 1 · 3 · 5 · 15.

9 = 1 · 3 · 9.

• для числа 10 простыми множителями будут являться цифры 1, 2 и 5;

• для числа 15 — 1, 3 и 5;

• для числа 9 — 1 и 3.

Разложением на простые множители называется операция нахождения произведения простых множителей, которые дают в итоге это самое число.

Причём в данном произведении, как и в разложении в целом, простые множители могут повторяться и не один раз.

Запись простых множителей обычно производится в порядке их возрастания.

Как разложить число на простые множители

Приведём последовательность действий, с помощью которой вы сможете с лёгкостью разложить число на множители:

1.     Для начала проверяем, не является ли число простым. Для этого можно:

a.     воспользоваться признаками деления чисел;

b.     посмотреть, нет ли этого числа в таблице простых чисел.

2.     Если число является простым, то у него два простых множителя — единица и само число.

3.     Если данное число — составное, то, начиная с самого маленького простого числа (им будет цифра 2), будем делить его. Если число разделилось нацело на какое-то число, то оно и будет одним из его множителей.

4.     Далее повторяем всё с первого пункта для частного: 

a.     если полученное в результате деления число является простым, то попробуем подобрать дальше множители;

b.     если сложным — то дальше делим это число, причём начинаем сначала.

5.     Будем повторять данные шаги, пока в частном не будет единица.

В арифметике чаще всего разложение на простые множители расписывают в две колонки, которые разделены чертой. Рассмотрим пример такой записи

Пример. Найти простые множители числа 45.

Решение. Запишем число 45 в левую колонку слева от черты, и позже будем подбирать множители:

Данное число не является простым, значит, у него есть простые множители. Это число не является чётным, значит, чётные делители не будем подбирать. Следующим возможным множителем из натуральных чисел будет цифра 3. Запишем её справа от числа 45 в правую колонку:

Разделим число 45 на подобранную цифру 3. Запишем результат деления снизу под числом 45:

Далее повторим действия для числа 15 и делителя 3:

Следующим возможным множителем будет цифра 5, попробуем разделить на неё полученное число:

Итак, мы получили единицу, значит, мы выполнили вычисления, которые нам нужны, теперь распишем число 45 на простые множители:

45 = 1 · 3 · 3 · 5.

Ответ: 1, 3, 3, 5.