Алгоритм Диффи–Хеллмана

Алгоритм Диффи–Хеллмана (DH, Diffie–Hellman key exchange) – классический протокол распределения общего секрета по открытому каналу связи. Его центральная идея: стороны обмениваются производными от секретов значениями, так что любой пассивный наблюдатель видит лишь «следы» вычислений в конечной группе, но не может восстановить секреты, если вычислительно трудна задача дискретного логарифмирования. Для ЕГЭ по информатике эта тема важна из-за практики работы с модульной арифметикой, возведением в степень по модулю, двоичным разложением показателя и пониманием того, почему «видимые» по сети числа не раскрывают ключ.

Формальная модель

Параметры группы

Классическая (модульная) форма DH задаётся тройкой (p, g, G):

Протокол

Корректность следует из коммутативности сложения показателей при возведении основания g.

Вычислительная основа

Правила корректного применения (нормативные «рельсы»)

1. Группа и порядок. Используйте p безопасного вида p=2q+1 (с простым q), а g – элемента порядка q. Это исключает малые подгруппы.

2. Случайные секреты. Секреты a, b выбираются равновероятно из большого диапазона (криптографический ГСЧ).

3. Проверка публичных значений. Отбрасывайте некорректные A, B:
   

   • A, B ∉ {0,1,p−1};

   • Aq≢1(mod p) и Bq≢1(mod p) (для безопасного p).
     Это закрывает атаки малых подгрупп.

4. Аутентификация. «Чистый» DH не аутентифицирует стороны и уязвим для MITM (человек-посередине). Практически применяют аутентифицированный обмен (подписанные ключи, сертификаты) или протоколы семейства SIGMA/TLS.

5. Производная от секрета. Общий секрет K напрямую не используют как ключ. Его пропускают через KDF (Key Derivation Function) / криптографический хэш с солью/контекстом, получая симметрические ключи шифрования и имитовставки.

6. Эфемерность и прямая секретность. Эфемерные a,b на каждую сессию дают Perfect Forward Secrecy: раскрытие долговременных материалов не компрометирует прошлые сессии.

7. Эффективные вычисления. Возведение в степень – через двоичный метод (square-and-multiply) с промежуточным приведением по модулю.

Арифметика возведения в степень по модулю (метод двоичного показателя)

Пусть нужно g^e mod p. Разложим e в двоичную сумму степеней двойки и последовательно возводим в квадрат, каждый раз беря остаток по модулю p. Это даёт асимптотику O (log e) умножений.

Ошибки и угрозы (типичные для задач ЕГЭ и практики)

• Игнорирование аутентификации → MITM. Защита: подписи публичных значений, сертификаты, проверка идентичности.

• Малые подгруппы. Если не проверять порядок A, B, злоумышленник навяжет элемент малого порядка, «сжимая» пространство ключей.

• Повторное использование секретов. Снижает стойкость и может открыть путь к корреляционным атакам; применяйте эфемерные ключи.

• Ключ без KDF. Нельзя «сырой» K подставлять в блочный шифр – используйте деривацию (KDF) с контекстом.

• Небезопасные параметры. Нельзя брать малые p, «удобные» g без проверки порядка, «игрушечные» примеры годятся только для учебной арифметики.

Связь с ЕГЭ: что именно тренировать

1. Возведение в степень по модулю с промежуточным приведением.

2. Двоичное разложение показателя и метод «квадрат-умножение».

3. Проверка, является ли g порождающим: для каждого простого делителя r числа p−1 должно выполняться g^(p−1)/r≢1(mod p).

4. Формальная логика протокола (почему A^b≡B^a).

5. Распознавание угроз MITM и общие принципы аутентификации.

Практикум: 5 упражнений с подробными решениями 

Упражнение 5. Проверка и малые подгруппы (безопастное  p  ) 

Практические рекомендации по оформлению решений (для ЕГЭ)

• Разделяйте этапы вычислений. Каждый шаг возведения в степень сопровождайте приведением по модулю и аккуратной арифметикой остатков.

• Пишите двоичное разложение показателя. Это сразу структурирует решение (какие квадраты и произведения нужны).

• Проверка генератора. Для p−1 выписывайте простые делители и тестируйте g^(p−1)/r.

• Краткие обоснования. Указывайте свойства: «корректность из g^ab=g^ba, «безопасность из трудности DL».

• Отмечайте границы модели. Для вопросов безопасности перечисляйте MITM, малые подгруппы, необходимость KDF и аутентификации.

Заключение

DH – фундаментальный протокол согласования ключей, построенный на свойстве односторонности в конечных группах. На уровне ЕГЭ он тренирует строгость модульной арифметики и умение структурировать вычисления методом двоичного показателя; на практическом уровне – дисциплину выбора параметров, проверок и аутентификации. Чёткое следование правилам и аккуратная вычислительная техника позволяют как корректно решать экзаменационные задачи, так и понимать реальные криптографические протоколы, лежащие в основе защищённых соединений.