Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Вы успеете подготовиться к экзамену! Начните занятия прямо сейчас!
Дизъюнкция
Дизъюнкция, вероятно, одна из самых простых и понятных операций в алгебре логики. В сравнении с конъюнкцией она дает куда больше положительных результатов. Иными словами дизъюнкцию называют логическим ИЛИ, сложением.
При работе со множествами операция ИЛИ дает объединение множеств. А при работе с предикатами, если хотя бы одно из них истинно, то истинным получается и результат.
В классической логике дизъюнкция предполагает включение, то есть результат является истинным, если истинно хотя бы одно из выражений, а не обязательно оба. Это отличает её от исключающего "или", которое истинно только при различной истинности операндов.
Исторически истоки логической дизъюнкции уходят в древнегреческую философию, где мыслители, такие как Аристотель, начали изучать основы логического вывода. Однако, как и в случае с конъюнкцией, современное понимание этой операции начало формироваться с развитием формальной логики в средневековье. Основные моменты таковы:
-
Пьер Абеляр в XI веке исследовал отношения между логическими связками, включая "или".
-
В XIX веке Джордж Буль включил дизъюнкцию в свою символическую алгебру, заложив основы современной логики.
-
В XX веке Готлиб Фреге и Бернард Рассел расширили область применения дизъюнкции, разработав логику предикатов, которая до сих пор используется в математике, информатике и философии.
Главный отличием дизъюнкции от конъюнкции в алгебре логики будет тот факт, что при увеличении числа выражений конъюнкция дает все больше нулевых результатов, а дизъюнкция дает все больше единиц. Сравнить можно, посмотрев на результаты (ссылка на материал по конъюнкции).
В дизъюнкции действует то же самое правило, что и в конъюнкции – от перемены мест или, говоря другими словами, очередности исполнения конечный результат не зависит.
Давайте посмотрим на выражение A \/ B \/ C, сравнивая его с A \/ (B \/ C). Заодно проверим сразу несколько законов, описанных здесь.
|
А |
В |
С |
A \/ B |
A \/ B \/ C |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Пример 2:
|
А |
В |
С |
B \/ C |
A \/ B \/ C |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Легко заметить, что последние столбцы совпадают независимо от пути, по которому мы к ним пришли.
Теперь можно разобрать несколько простых задач с использованием дизъюнкции.
Пример 1: Студент и экзамен
Допустим, студент должен сдать экзамен и может это сделать, если:
-
он сдаст теоретическую часть,
-
или сдаст практическую часть.
Пусть
-
A — сдана теоретическая часть,
-
B — сдана практическая часть.
Тогда условие сдачи экзамена можно записать как A \/ B. Если студент сдал хотя бы одну часть, экзамен считается сданным.
Пример 2: Покупка билета
Кассир может продать билет на поезд, если у покупателя есть:
-
либо наличные деньги,
-
либо работающая банковская карта.
Пусть
-
A — есть наличные деньги,
-
B — карта работает.
Условие продажи билета A\/B. Если хотя бы одно из условий выполнено, билет будет продан.
Пример 3: Система сигнализации
Система сигнализации должна сработать, если:
-
дверь открыта,
-
или разбито окно.
Пусть
-
A — дверь открыта,
-
B — окно разбито.
Срабатывание сигнализации описывается как A \/ B.
Классическая таблица истинности для дизъюнкции в данном случае выглядит следующим образом:
|
В |
С |
B \/ C |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
Задача
В университете проходит конкурс программирования. Чтобы команда могла участвовать в финале, необходимо выполнить следующие условия:
Каждый из трёх членов команды должен зарегистрироваться на сайте конкурса.
Пусть
-
A — первый участник зарегистрировался,
-
B — второй участник зарегистрировался,
-
C — третий участник зарегистрировался. Условие для выполнения этого требования: A∧B∧C.
Команда должна пройти предварительный отбор, который состоит из двух частей:
-
Решение тестового задания, обозначим D, или прохождение интервью с жюри, обозначим E.
-
Условие прохождения отбора: D \/ E.
Если команда выполнила оба предыдущих условия, она может попасть в финал, только если капитан команды, обозначим его F, предоставил подтверждение участия от всех членов команды. Это выражается через следование: (A∧B∧C)∧(D∨E)→F.
Условие задачи: составьте логическое выражение, которое описывает возможность участия команды в финале.
Также определите, попадёт ли команда в финал, если:
-
Первый участник зарегистрировался (A=1), второй зарегистрировался (B=1), а третий нет (C=0).
-
Решение тестового задания провалено (D=0), но интервью пройдено (E=1).
-
Капитан не предоставил подтверждение участия (F=0).
Решение (общее логическое выражение):
- Для участия команды в финале необходимо: ((A∧B∧C)∧(D∨E))→F.
Проанализируйте таблицу истинности, чтобы проверить возможность участия команды.
Полная таблица истинности включает в себя 64 строки – 26, поэтому в рамках данного материала было бы нелогично прописывать ее полностью. Однако, согласно условию, мы можем составить краткую таблицу с параметрами, которые соответствуют ее решению.
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
A/\B/\C |
D\/E |
(A/\B/\C)/\(D\/E) |
(A/\B/\C)/\(D\/E)->F |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Что нам дает эта таблица? Последнее высказывание – из нуля следует ноль, что дает истину. По сути, мы доказали истинность выражения, то есть, совпадение всех условий. Это значит, что команда действительно (1) не сможет попасть в финал.
Чтобы лучше разбираться в таких заданиях ЕГЭ по теме дизъюнкции, предлагаем самостоятельно решить несколько задач:
Задача 1: Организация мероприятий
Условие: Три сотрудника компании решают, как организовать корпоративное мероприятие:
-
Сотрудник A отвечает за выбор места. Он может либо забронировать зал в ресторане, либо организовать пикник.
-
Сотрудник B отвечает за развлекательную программу. Он может пригласить ди-джея или организовать викторину.
-
Сотрудник C решает вопрос с едой. Он может заказать кейтеринг или предложить каждому участнику принести свою еду.
Мероприятие состоится, если хотя бы один из сотрудников выполнит свои обязанности. Однако для успеха мероприятия все выбранные элементы (место, программа и еда) должны быть согласованы между собой.
Вопрос:
Какие комбинации действий сотрудников A, B и C позволят провести мероприятие успешно?
Задача 2: Проблема с сетью
Условие: Три элемента компьютерной сети должны работать для обеспечения связи:
-
Сервер A должен быть включен и соединен с роутером.
-
Роутер B должен быть исправен или заменен на резервный.
-
Коммутатор C должен либо функционировать, либо сеть должна работать без него, если включен режим резервирования.
Сеть будет работать, если сервер, роутер и коммутатор находятся в согласованном состоянии, то есть выполнены условия их взаимодействия.
Вопрос:
Какие условия должны быть выполнены для обеспечения работы сети?
Задача 3: Успех проекта
Условие: для успешного завершения проекта необходимо соблюсти следующие условия:
-
Менеджер A должен либо закончить планирование, либо найти временную замену.
-
Разработчик B должен либо завершить разработку, либо предоставить промежуточный результат.
-
Тестировщик C обязан либо протестировать финальную версию, либо провести регрессионное тестирование.
Проект считается завершённым, если хотя бы одно действие каждого участника выполнено, а все результаты согласованы друг с другом.
Вопрос:
Какие действия участников A, В и C приведут к успешному завершению проекта?