Конъюнкция

Конъюнкция – одна из основных операций алгебры логики, которая позволяет получить результат взаимодействия двух выражений, или предикатов, или множеств – в зависимости от области изучения. В информатике чаще всего используются предикаты или выражения, а множества относятся к обычной алгебре. 

Более точное определение, уходящее корнями в века, звучит так. Конъюнкция – это логическая операция, которая в классической логике объединяет два высказывания, чтобы получить новое, истинность которого зависит от истинности исходных утверждений. 

Сегодня мы попробуем рассмотреть основные особенности и правила взаимодействия с двумя, тремя и четырьмя предикатами или выражениями. Классические правила алгебра логики уже были описаны в материале («алгебра логики»). Оттуда мы знаем, что 

(A \/ B) /\ C = (A \/ C) /\ (B \/ C).

Увеличивая число выражений, мы не изменим правило, однако заметно усложним конечное выражение. На изображении выше, например, изображена классическая конъюнкция или, говоря другими словами, объединение множеств. Однако, при большом количестве переменных, например, трех или четырех, используя скобки, можно получать различные промежуточные выражения, однако финальный результат будет одинаковым.

В качестве примера логической операции возьмем A /\ B /\ C, а также A /\ (B /\ C). Пример 1:

Пример 2:

Мы получили тот же самый результат. Это значит, что при перестановке операций конъюнкции или объединения множеств, всегда получается одно и то же. Порядок операций не имеет значения.

Взяв для примера таблицу истинности в четыре переменных, мы получим подтверждение этого правила. Иногда при подготовке к ЕГЭ могут быть задания, суть которых состоит в сравнении таблицы истинности.А теперь немного истории.

Истоки термина «конъюнкция» уходят в древнегреческую философию и логику. Еще Аристотель впервые ввел систематическое изучение логических операций, включая соединение высказываний. Однако современное понимание конъюнкции начало формироваться благодаря трудам средневековых философов, таких как Пьер Абеляр, который исследовал отношения между понятиями.

В новое время, с развитием математической логики, Джордж Буль в XIX веке ввел формализацию логических операций, включая конъюнкцию. Эта работа положила начало символической логике, где конъюнкция записывается как A /\ B. Позже, в XX веке, логика предикатов, предложенная Готлибом Фреге и Бернардом Расселом, углубила понимание этой операции.

Конъюнкция широко применяется в классической алгебре и алгебре логики. При помощи операции можно решать различные задачи. Разберем в качестве примера простую задачу.

Допустим, есть три друга, которые решили отправиться в кино. Они смогут попасть туда, если первый друг купит билеты, второй – сможет вызвать такси, а третий – освободится вечером, чтобы составить им компанию. Суть задачи такова – если хотя бы один не сможет выполнить свою часть, то никто из друзей не сможет попасть в кино.

Таким образом, мы получили классическое задание ЕГЭ, которое запишем в виде выражений:

А – первый друг купил билеты в кино

B – второй друг вызвал такси

C – третий друг освободил вечер, чтобы составить компанию друзьям. 

Выражение, которое соответствует решению этой задачи, выглядит как A /\ B /\ C. Мы уже сталкивались с подобными примерами в рамках обучения, поэтому продублируем таблицу для наглядности.

Единственно возможное решение в данном случае одно – когда каждый из друзей может и выполняет свое действие. То же самое происходит и в том случае, если выражений будет четыре, пять и более. При конъюнкции или логическом умножении результат будет истинным лишь в том случае, если истинно каждое выражений, входящих в операцию.

Чтобы немного попрактиковаться, рассмотрим несколько задач для самостоятельного решения. К ним потребуется составить таблицы истинности, выражения и ответить на вопрос задачи.

Задача 1: Определение погодных условий

На метеостанции необходимо определить, подходят ли погодные условия для запуска воздушного шара. Условия следующие:

• Скорость ветра не превышает 15 км/ч.

• Температура воздуха находится в диапазоне от 10°C до 25°C.

• На небе нет грозовых облаков.

Вопрос: подходят ли погодные условия для запуска, если известно, что сегодня скорость ветра составляет 12 км/ч, температура 22°C, а небо чистое?

Задача 2: Успешная сдача экзамена

Студент считается успешно сдавшим экзамен, если выполняются три условия:

• Общий балл за все тесты составляет не менее 60.

• Минимальный балл за практическую часть — 20.

• Все письменные задания выполнены.

Вопрос: сдал ли студент экзамен, если у него общий балл 65, за практическую часть он получил 22, но одно письменное задание не выполнено?

Задача 3: Доступ к секретной базе

Для доступа к секретной базе сотрудник должен соответствовать следующим критериям:

• Иметь действующий пропуск уровня "Альфа".

• Быть записанным в список сотрудников, имеющих право на вход.

• Пройти проверку биометрических данных.

Вопрос: получит ли сотрудник доступ, если его пропуск активен, он числится в списке сотрудников, но биометрическая проверка не пройдена?

После решение задач, можно дополнительно попрактиковаться в тестовых вопросах, которые также могут попасться на едином экзамене:

Вопрос 1:

Что является основным результатом применения операции конъюнкции в классической логике?

1. Создание нового высказывания, истинность которого зависит от истинности исходных утверждений.

2. Построение логической цепочки на основе всех ложных утверждений.

3. Исключение ложных утверждений для получения результата.

4. Определение количества переменных в выражении.

Вопрос 2:

Какое выражение отражает выполнение задачи, когда три друга собираются в кино и каждый должен выполнить свою часть?

1. A∨B->C

2. A∧(B∨C)

3. A∧B∧C

4. A∨(B∧C)

Вопрос 3:

Какое из утверждений о конъюнкции является верным?

1. Порядок операций конъюнкции влияет на результат.

2. Конъюнкция применяется только в алгебре множеств.

3. Перестановка операций конъюнкции не изменяет результат.

4. Конъюнкция всегда дает истинный результат независимо от входных значений.

Вопрос 4:

Кто впервые ввел формализацию логических операций, включая конъюнкцию, в XIX веке?

1. Аристотель

2. Пьер Абеляр

3. Джордж Буль

4. Готлиб Фреге