Позиционная система счисления

Понимание позиционных систем счисления – это фундаментальный навык для успешной сдачи ЕГЭ по информатике. Без этой темы невозможна грамотная работа с числами, их представление и перевод из одной системы в другую. Освоение данного материала позволит уверенно решать задания части 1 и 2 ЕГЭ, связанные с обработкой числовых данных, программированием и анализом информации.

Подробнее ознакомиться с темой «Системы счисления» можно здесь. 

Теоретические основы 

1. Определение
   

   Позиционная система счисления – это система записи чисел, в которой значение каждой цифры определяется не только её значением, но и позицией (местом) в записи числа.

2. Основание системы счисления
   

   Основание системы счисления – это количество различных символов, используемых для записи чисел. Например:

   • Десятичная система (основание 10): цифры от 0 до 9;

   • Двоичная система (основание 2): цифры 0 и 1;

   • Восьмеричная система (основание 8): цифры от 0 до 7;

   • Шестнадцатеричная система (основание 16): цифры 0–9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15).

3. Запись числа в позиционной системе
   

   Любое натуральное число в системе с основанием q записывается как последовательность цифр anan−1…a1a0, где ai – цифра на позиции i (от младших разрядов к старшим). Значение числа вычисляется по формуле:

   
   

   Пример:
   Число 237 в десятичной системе:

   
   

Правила записи и работы с позиционными системами счисления

1. Допустимые цифры
   

   Для каждой системы счисления используются только цифры от 0 до q−1, где q – основание.

2. Запись чисел
   

   • Самая правая цифра – младший разряд (разряд единиц).

   • Чем левее цифра – тем большую степень основания она умножается.

   • Не допускаются ведущие нули (например, 0123 в десятичной – неверно).

3. Перевод из одной системы счисления в другую
   

   А) Из любой системы счисления в десятичную

   Применяем формулу суммы разрядов, как показано выше.

   Б) Из десятичной системы в другую

   Пошагово делим число на основание новой системы, записывая остатки от деления в обратном порядке.

Практическая часть

Упражнение 1

Перевести число 101101 из двоичной системы в десятичную.

Решение:

Ответ: 45

Упражнение 2

Перевести число 255 из десятичной системы в шестнадцатеричную.

Решение:

1. 255 : 16 = 15, остаток 15

2. 15 : 16 = 0, остаток 15

В шестнадцатеричной 15 – это F, значит:

255₁₀​=FF_16​

Ответ: FF

Упражнение 3

Определите, каким числом в десятичной системе соответствует запись 2317 в восьмеричной системе.

Решение:

Ответ: 1231

Упражнение 4

Запишите десятичное число 73 в двоичной системе.

Решение:

1. 73 : 2 = 36, остаток 1

2. 36 : 2 = 18, остаток 0

3. 18 : 2 = 9, остаток 0

4. 9 : 2 = 4, остаток 1

5. 4 : 2 = 2, остаток 0

6. 2 : 2 = 1, остаток 0

7. 1 : 2 = 0, остаток 1

Читаем остатки снизу вверх: 1001001

Ответ: 1001001 

Упражнение 5

Какое минимальное основание системы счисления подходит для записи числа 20317?

Решение:
В числе используются цифры 2, 0, 3, 1 и 7. Самая большая – 7.
Основание системы должно быть больше самой большой цифры, то есть минимальное – 8.

Ответ: 8

Практическая значимость темы для ЕГЭ

В ЕГЭ по информатике задания на позиционные системы встречаются в различных разделах:

• Анализ кодировки информации и её объёма;

• Программирование (работа с представлением чисел в памяти компьютера).

Типичные ошибки 

1. Неправильный учёт разрядов при переводе.

2. Применение недопустимых цифр для выбранного основания.

Рекомендация: всегда внимательно записывайте промежуточные шаги и проверяйте правильность использования разрядов.

Итоги

Уверенное владение переводами между системами, понимание принципа разрядности, умение определять минимальное основание для числа – ключевые навыки для получения высоких баллов.

Регулярно тренируйтесь на различных типах заданий и обязательно проверяйте свои решения!