Системы счисления

Системы счисления — это методы записи чисел, применяемые во многих областях науки, технологий и других. Большинство из нас знакомы с десятичной системой, которая использует десять символов (от 0 до 9). Предположительно, она стала стандартом, потому что у человека десять пальцев, что исторически служило удобным средством для счета. Существуют и другие виды, широко используемые в разных сферах. 

Умение различать и понимать различные системы счисления позволяет расширить математический кругозор учеников школьной программы  и готовит их к глубокому пониманию информационных технологий. Знание их крайне важно для тех, кто стремится работать в таких областях, как электроника, IT, программирование, компьютерные науки. 

Изучение систем счисления в учебном курсе

Обычно системы счисления начинают изучать в средней школе, примерно в 7-8 классах, когда математика и информатика становятся более продвинутыми дисциплинами. Понимание этих систем не только помогает учащимся разобраться в работе компьютеров, но и способствует развитию логического мышления и аналитических способностей.

Позиционные и непозиционные системы счисления – особенности и различия

Различают 2 большие группы систем счислений. Рассмотрим каждую из них и выясним,  чем они отличаются друг от друга. 

Непозиционные

В непозиционных системах значение цифры не зависит от ее расположения в числе. Один из примеров — унарная система, где число представлено повторением одного символа. Например, число 4 представлено как 1111. Также к этой категории относится римская, где каждый символ имеет фиксированное значение независимо от своего местоположения в представленном числе.

Позиционные

Тут значение каждой цифры определяется её местоположением. Рассмотрим число 254 на примере десятичной системы: оно означает 2 сотни, 5 десятков и 4 единицы. Данный метод является наиболее универсальным и используется в повседневной жизни. 

Вот сравнительная таблица, описывающая основные характеристики и области применения. Рассмотрим, как записать число 31 в системах счисления: 

Рассмотрим детальнее. 

Десятичная система счисления

Десятичная система счисления, известная также как система с основанием 10, является наиболее широко используемой в мире. Это позиционная система, которая использует десять символов для представления чисел: от 0 до 9. Каждый разряд в числе имеет значение, которое определяется его позицией и умножается на степень числа 10, соответствующей этой позиции.

Принцип ее работы легко понять на примере числа 2357:

• Цифра 7 стоит на позиции единиц и представляет собой 7 единиц (7×10^0),

• Цифра 5 стоит на позиции десятков и представляет собой 50 (5×10^1),

• Цифра 3 стоит на позиции сотен и представляет собой 300 (3×10^2),

• Цифра 2 стоит на позиции тысяч и представляет собой 2000 (2×10^3).

Сумма этих значений дает общее число 2357. Эта система проста и интуитивно понятна, что делает её идеальной для повседневного использования в финансах, образовании и торговле.

Исторически десятичная система возникла из-за естественной тенденции людей использовать пальцы рук для счета, что и обусловило выбор числа 10 в качестве основания. С течением времени она стала основой для развития не только математики, но и многих аспектов современной науки и технологий.

Двоичная система счисления

Основанием двоичной системы счисления является 2. Это основание выбрано не случайно, так как вся информация в компьютере представляется в виде битов — наименьших единиц данных, которые могут принимать одно из двух состояний: 0 или 1.  Данный метод характеризуется использованием всего двух символов: 0 и 1. В контексте памяти компьютера:

• 0 обозначает отсутствие заряда или сигнала;

• 1 обозначает наличие заряда или сигнала.

Пример: число 2  здесь записывается как 10, что означает одну двойку и ноль единиц, а число 4 будет 100, что соответствует двум двойкам без единиц.

Восьмеричная система счисления

Хотя восьмеричная система используется реже, она имеет применение в некоторых областях программирования. Основание — 8, что позволяет ей представлять более крупные блоки двоичных чисел более компактно. Восьмеричные числа легко конвертировать из двоичных, так как каждая восьмеричная цифра соответствует трем двоичным.

Пример: число 63 тут записывается как 77, что представляет собой восемь восьмерок и семь единиц.

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система часто используется при кодировании цветов в формате RGB. Основание — 16, что включает стандартные цифры от 0 до 9 и буквы от A до F для обозначения чисел от 10 до 15. Ее широко применяют в программировании и дизайне.  

Пример: число 255 записывается как FF, что соответствует пятнадцати шестнадцатеричным десяткам и пятнадцати единицам.

Примеры использования различных систем счисления

Рассмотрим примеры того, как можно записать число в системе счисления. Возьмем число 35 и увидим, как оно может быть представлено в разных системах счисления:

• Десятичная: 35

• Двоичная: 100011

• Восьмеричная: 43

• Шестнадцатеричная: 23

Эти примеры иллюстрируют, как одно и то же число может выглядеть совершенно по-разному в зависимости от выбранного метода.

Рассмотрим на практике задачу и ее решение. 

Задача 1: Переведите десятичное число 18 в восьмеричную систему.

Разбор: Чтобы перевести число из десятичной в восьмеричную систему счисления используем метод деления:

• Делим число 18 на 8. Частное – 2, остаток – 2.

• Так как частное равно 2, а оно меньше 8, это и будет наше последнее частное, и оно представляет собой старший разряд.

• Число 18 в восьмеричной системе записывается как 22.

Ответ: 22.

Задача 2: Переведите десятичное число 13 в двоичную систему.

Разбор: Перевод числа из десятичной системы в двоичную возможен при помощи метода деления на 2 с записью остатков:

• 13 делится на 2, частное – 6, остаток – 1.

• 6 делится на 2, частное – 3, остаток – 0.

• 3 делится на 2, частное – 1, остаток – 1.

• 1 делится на 2, частное – 0, остаток – 1.

• Записываем остатки в обратном порядке: 1101.

Ответ: 1101.

Алфавиты систем счисления

Для каждой системы счисления характерен свой уникальный набор символов или алфавит:

• Для десятичной: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

• Для двоичной: 0, 1

• Для восьмеричной: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

• Для шестнадцатеричной: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Эта таблица помогает увидеть различие по числу и виду символов, используемых для представления чисел. ​

Советы по изучению систем счисления для учеников

Понимание различных систем счисления расширяет математический кругозор учеников и готовит их к более глубокому пониманию информационных технологий. Это знание жизненно необходимо для тех, кто планирует работать в сферах, связанных с компьютерными науками, электроникой или программированием.

Для успешного освоения темы учащимся рекомендуется начать с практических задач, переводя числа между системами, чтобы лучше понять принципы их работы. Для практики предлагаем решить несколько задач: 

Вот несколько задач, которые помогут ученикам практиковаться в переводе чисел из одной системы в другую:

1. Переведите двоичное число 101101 в десятичную.

2. Переведите десятичное число 174 в шестнадцатеричную.

3. Переведите шестнадцатеричное число 1A3F в двоичную.

4. Переведите восьмеричное число 721 в десятичную.

5. Переведите десятичное число 245 в восьмеричную.

Ответы (45; AE; 0001101000111111; 465; 365)

Использование визуальных и интерактивных обучающих материалов также может значительно упростить процесс обучения и сделать его более интересным и захватывающим. Чем больше вы практикуетесь в переводе чисел из одной системы счисления в другую, тем лучше вы начинаете понимать каждую из них. Начните с простых чисел и постепенно переходите к более сложным.