Таблица логических операций

Алгебра логики предусматривает большой пласт задач. Необходимо уметь решать их – и табличный метод представляет собой наиболее простой метод, который лаконично и логично предоставляет все возможные варианты ответов на поставленные задачи. 

В материале по основам алгебры логики мы уже описывали правила и некоторые тонкости их описания. Здесь стоит кратко вспомнить основной перечень правил:

1. Законы идемпотентности.

2. Законы коммутативности.

3. Законы ассоциативности.

4. Законы дистрибутивности.

5. Законы поглощения.

6. Законы двойного отрицания.

7. Законы нуля и единицы.

8. Законы дополнения.

9. Законы де Моргана.

Все эти законы можно привести к табличному виду. Например, возьмем два высказывания: Джон идет на работу и Мэри идет на работу. Обозначим их соответственно, как А и В. Тогда у нас имеет место 4 ситуации: Джон идет на работу и Мэри идет на работу, Джон идет на работу, а Мэри не идет на работу, Джон не идет на работу, а Мэри идет на работу, Джон не идет на работу и Мэри не идет на работу. В таблице это выглядело бы так:

У таблицы может быть и графическое представление!

Представим более сложный пример, когда есть еще и Сью. Полагая, что на два правила есть четыре ситуации, то есть 2^х, где Х – количество правил, высчитаем, что на три правила потребуется 8 разных ситуаций. Тогда таблица истинности будет более интересной.

В этой таблице значений логический операций рассмотрены все варианты, которые могут быть для трех стартовых правил. В случае, если правил четыре, в таблице будет 16 строк и так далее. Но обычно задача легко укладывается в три, максимум – четыре правила. 

В материале о логических задачах (ссылка на материал по логическим задачам) мы пробовали преобразовать простую проблему в двух стартовых условиях. Сейчас при помощи таблиц истинности попробуем разобрать более сложную логическую задачу. Это будет полезно при подготовке к ЕГЭ

Задача:

В компании рассматривают критерии для перевода сотрудника в другой отдел. Пусть:

1. A: «Сотрудник сдал все тесты на профессиональные навыки».

2. B: «Сотрудник имеет положительные отзывы от коллег».

3. C: «Сотрудник может быть переведен в другой отдел».

Сотрудник может быть переведен в другой отдел только если выполняется следующее условие:

(A/\B)→C

Необходимо:

1. Проверить, при каких условиях это утверждение истинно.

2. Построить таблицу истинности.

3. Подробно описать решение.

Решение:

1. Преобразование выражения:
   

   Для выражения (A/\B)→C используем эквивалентное представление импликации:

   (A/\B)→C≡¬(A/\B)\/C

   Это означает, что утверждение истинно, если либо сотрудник не выполнил A/\B, либо C выполняется.

2. Таблица истинности:
   

   Составляем таблицу для всех возможных значений A, B, C, а также промежуточных и итогового выражений.

   • A: Сдал все тесты (1 – истина, 0 – ложь).

   • B: Имеет положительные отзывы (1 – истина, 0 – ложь).

   • C: Может быть переведен в другой отдел (1 – истина, 0 – ложь).

   • Промежуточные выражения:

   • A/\B: Сдал все тесты и имеет положительные отзывы.

   • -(A∧B): Отрицание A/\B.

   • ¬(A/\B)\/C: Итоговое выражение.

Построим таблицу истинности:

Пояснение к решению:

1. Столбец A/\B:
   Определяет, выполняются ли оба условия одновременно (сотрудник сдал все тесты и имеет положительные отзывы).

2. Столбец -(A/\B):
   Если A/\B=0, то отрицание равно 1 (сотрудник не выполнил оба условия).

3. Столбец ¬(A/\B)\/C:
   Итоговое выражение, которое равно 1, если либо A∧B не выполняется, либо C выполняется.

Вывод:

Выражение (A∧B)→C становится ложным только в одном случае, когда:

• A=1, B=1, C=0
  (сотрудник сдал тесты, получил положительные отзывы, но не перевелся в другой отдел).

В остальных случаях условие истинно.

На примере этой задачи мы можем проверить еще один закон. Зная, что –(A/\B)=-A\/-B, составим расширенную таблицу истинности. Подобные проверки необходимы при решении заданий ЕГЭ.

Теперь мы можем сравнить столбцы в таблице истинности, чтобы найти полностью идентичные значения. В данном случае полностью идентичные значения возникают, когда столбцы по всем строкам совпадают. Можно сказать, что в рамках задачи мы подтвердили одно из правил алгебры логики.

Для самопроверки можно составить дополнительные таблицы алгебры логики, чтобы проверить законы:

1. Законы поглощения.

2. Законы двойного отрицания.

3. Законы нуля и единицы.

4. Законы дополнения.

5. Законы де Моргана.

Чтобы облегчить работу, составим задачи следующего вида:

1.Законы поглощения

Условие:
Два магазина работают в тандеме.

• A: «Товар доставлен вовремя».

• В: «Товар доставлен и получил высокую оценку клиентов».

Утверждается, что магазин утверждает условие A∨(A∧B) как эквивалентное A.
Проверьте, верно ли утверждение A∨(A∧B)=A, составив таблицу истинности.

2. Законы двойного отрицания

Условие:
Система безопасности компании использует сигнал:

• A: "Система зарегистрировала попытку входа."

Необходимо проверить, что -(-A)≡A.
Докажите, что двойное отрицание любого события возвращает его исходное значение.

3. Законы нуля и единицы

Условие:
В электрической цепи логические значения соответствуют следующим состояниям:

• A: "Электрический ток подан."

Докажите с помощью таблицы истинности, что:

• A∨1≡1 (Ток всегда идет при наличии единицы).

• A∧0≡0 (Ток не идет, если есть ноль).

4. Законы дополнения

Условие:
В библиотеке учитывается наличие книг:

• A: "Книга доступна."

Покажите, что:

• A∨-A=1 (Книга либо доступна, либо недоступна).

• A∧-A=0 (Книга не может быть одновременно доступной и недоступной).

Составьте таблицу истинности для обоих утверждений.

5. Законы де Моргана

Условие:
В строительной компании учитываются:

• А: "Проект завершен вовремя."

• В: "Проект уложился в бюджет."

Проверьте, что:

1. -(A∧B)=-A∨-B

2. -(A∨B)=-A∧-B.

Составьте таблицу истинности для обоих законов.

Таким образом, в рамках данного учебного материала мы не только вспомнили основные законы логики, но еще и попробовали их доказать, подобрали таблицы истинности к задачам с двумя и тремя стартовыми условиями и успешно их решили. 

При подготовке к ЕГЭ можно также найти и тестовые задания:

Что представляет собой табличный метод в алгебре логики?

• a) Графическое представление решений логических задач.
• b) Метод записи всех возможных значений логических операций для заданных условий.
• c) Формирование графов для визуализации логических цепочек.
• d) Сравнение двух логических выражений с помощью диаграмм Венна.

Сколько строк будет содержать таблица истинности для четырех логических переменных (A, B, C, D)?

• a) 4
• b) 8
• c) 16
• d) 32