О нас

Array
(
    [0] => Наша методика
    [1] => /about/method/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Наша методика

Array
(
    [0] => Преимущества
    [1] => /about/advantage/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Преимущества

Array
(
    [0] => Наши преподаватели
    [1] => /about/teachers/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Наши преподаватели

Array
(
    [0] => Контакты
    [1] => /about/contacts/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Контакты

Блог

Материалы

Array
(
    [0] => Как готовиться к ЕГЭ?
    [1] => /materials/exam-prepare/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Как готовиться к ЕГЭ?

Array
(
    [0] => Учебные материалы
    [1] => /materials/learning/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Учебные материалы

Array
(
    [0] => Образовательным организациям
    [1] => /materials/partners/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Образовательным организациям

Array
(
    [0] => Пользовательское соглашение
    [1] => /materials/agreement/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Пользовательское соглашение

Справочник

Array
(
    [0] => Арифметика
    [1] => /arithmetic/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Арифметика

Array
(
    [0] => Алгебра
    [1] => /algebra/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Алгебра

Array
(
    [0] => Планиметрия
    [1] => /planimetry/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Планиметрия

Array
(
    [0] => Информатика
    [1] => /informatics/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Информатика

Array
(
    [0] => Русский язык
    [1] => /russian/
    [2] => Array
        (
        )

    [3] => Array
        (
            [class] => 
        )

    [4] => 
)

Русский язык

Контакты

Личный кабинет

8 800 551-50-78 (бесплатно)

БЕСПЛАТНАЯ ПОДГОТОВКА К ЕГЭ ПО ПРОФИЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Подготовься к ЕГЭ-2026 по профильной математике самостоятельно с помощью сервиса "1С:Репетитор"!
Понятная теория и эффективные тренажеры с объяснением! Вы успеете подготовиться к экзамену! Начните занятия прямо сейчас!

Тригонометрические формулы. ЭГЕ–2024. Пробные задания

Теория

Для начала вспомним все формулы тригонометрии, которые вы изучали в школьной программе. Здесь важно то, что каждая из формул может пригодиться для решения той или иной задачи варианта.

формула 1 основное тригонометрическое тождество.

Основные формулы:

формула 2

Данные формулы будут появляться в заданиях редко:

формула 3

Формулы суммы и разности углов:

формула 4

Формулы двойного угла:

формула 5

Также нам понадобится знание знаков тригонометрических функций в каждой из четвертей тригонометрического круга.

тригонометрический круг

Четверть	Углы в градусах	Углы в радианах	Знак sinx	Знак cosx	Знак tgx	Знак ctgx
I	от 0º до 90º	от 0 до π/2	+	+	+	+
II	от 90º до 180º	от π /2 до π	+	–	–	–
III	от 180º до 270º	от π до 3 π /2	–	–	+	+
IV	от 270º до 360º	от 3 π /2 до 2 π	–	+	–	–

Рассмотрение типовых задач

Задание: необходимо упростить выражение sin²(2x) – cos²(2x).

Решение. Для начала заметим, что в данном выражении стоят квадраты при функциях, что уже сужает круг поиска нужной формулы.

Взглянув на формулы двойного угла, можно заметить, что условие очень близко к формуле косинуса двойного угла, но у формул противоположные знаки. Делаем вывод: если поменяем знаки на противоположные (вынесем минус за скобки), то сможем применить формулу. Также следует заметить, что в той формуле используется угол α, а у нас 2х. Распишем:

sin²(2x) – cos²(2x) = – (cos²(2x) – sin²(2x)) = – cos(2∙2x) = – cos(4x).

Ответ: – cos(4x).
Задание: нужно упростить следующее выражение: cos(x + π/2).

Решение. С помощью формулы тождественного преобразования можно легко сделать упрощение. Но в данном примере мы воспользуемся тригонометрическим кругом.

Вспомним, что косинусы на нём означают ось иксов. Угол π /2 у нас располагается сверху, и затем к нему прибавляют какой-то угол х, то есть мы идём дальше по кругу во вторую четверть. А в ней ось ОХ отрицательна и, соответственно, мы можем сразу поставить знак минус после знака равно. Далее мы меняем функцию cos на sin и оставляем угол х, убираем только π /2. Вот результат наших преобразований:

cos(x + π /2) = –sin(x).

Ответ: –sin(x).
Задание: упростите выражение 4cos²(3x) + 4sin²(3x) с использованием формулы тождественных преобразований.

Решение. Взглянем на условие. Можно заметить, что оно очень похоже на основное тригонометрическое тождество. Единственное, что нам мешает, — четвёрка, которую мы можем вынести за скобки, затем сложить формулу и после главное не забыть проверить, одинаковые ли у нас аргументы (углы) при функциях 3х.

Получим следующие результаты преобразований:

4cos²(3x) + 4sin²(3x) = 4(cos²(3x) + sin²(3x)) = 4 ∙ 1 = 4.

Ответ: 4.
Задание: упростите выражение sin(2 π – π).

Решение. Четверть, в которой лежит данный угол, мы найдём, когда от 2 π (или 360º) отнимем какой-то угол π. То есть мы пойдём по часовой стрелке по кругу вправо и попадём в IV четверть.

Так как в угле с π (2 π) нет дробной части и сам он лежит на горизонтальной оси, значит, название у исходной функции меняться не будет, а знак поменяется с плюса на минус. Запишем преобразования:

sin(2 π – π) = –sin(π).

Ответ: –sin(π).
Задание: упростите выражение 3cos²(75) + 3cos²(15).

Решение. Применим ту же логику в преобразовании углов, что мы использовали в предыдущих заданиях, только на этот раз у нас есть числа. Попробуем привести к углу в 15º. То есть пойдём от угла 90º:

15º = 90º – 75º.

Далее нам надо понять поведение функции. Так как 90º находится на вертикальной оси, то косинус поменяется на синус. У нас вычитание, поэтому мы попадаем в I четверть, где у нас сохранится положительный знак.

Теперь запишем наши размышления и получим ответ:

3cos²(75) + 3cos²(15) = 3cos²(75) + 3cos²(90 – 75) = 3cos²(75) + 3sin²(75) =

= 3(cos²(75) + sin²(75)) = 3 ∙ 1 = 3.

Ответ: 3.

Каждое из заданий здесь и возможных заданий на ЕГЭ по тригонометрии может потребовать для решения знания одной из формул. Важно выучить их все и научиться применять. Эти задания помогут вам закрепить знания о тождественных преобразованиях и использовать их для работы с тригонометрическими выражениями на ЕГЭ.

Как легко подготовиться к ЕГЭ-2026? У нас есть подарок для вас! Мы открыли доступ к курсам по алгебре, геометрии и информатике с теорией и тренажёрами! Вам нужно просто перейти и попробовать. Например:

< Назад к списку