Изменение частного с изменением делимого и делителя

Увеличение или уменьшение делимого

При увеличении делимого в некоторое количество раз частное увеличится в это же количество раз. То же самое и при уменьшении: если уменьшить делимое в некоторое количество раз, то и частное также уменьшится в это же количество раз.

Это вытекает из определения частного: чем больше число, которое делят, тем больше будет и результат от деления; и чем меньше делимое, тем меньше частное.

Запишем общий вид деления:

a : b = c,

где a — делимое (то, что делят), b — делитель (то, на что делят), c — частное (результат деления).

Запишем то, что написали выше в общем виде:

(a · d) : b = c · d

или

(a : d) : b = c : d.

Пример. Найти, насколько изменится частное от деления чисел 120 и 4, если делимое увеличить в 5 раз; уменьшить в 3 раза.

Решение. Найдём результат от деления чисел до изменения:

120 : 4 = 30.

1. Теперь изменим делимое, увеличив его в 5 раз, и найдём новое частное:

120 · 5 = 600.

600 : 4 = 150.

Вычислим разницу в разах между новым частным и изначальным:

150 : 30 = 5.

Значит, при увеличении делимого в 5 раз частное также увеличилось в 5 раз.

2. Сейчас изменим делимое, уменьшив его в 3 раза, и найдём новое частное:

120 : 3 = 40.

40 : 4 = 10.

Найдём разницу между старым частным и новым:

30 : 10 = 3.

Значит, при уменьшении делимого в 3 раза частное также уменьшилось в 3 раза.

Ответ: увеличилось в 5 раз; уменьшилось в 3 раза.

Увеличение или уменьшение делителя

При увеличении делителя в некоторое количество раз частное уменьшится в это же количество раз. То же самое и при уменьшении: если уменьшить делимое в некоторое количество раз, то и частное увеличится в это же количество раз.

Аналогично с делимым для делителя: чем больше будет число, на которое делят, тем меньше будет частное, и чем меньше будет делитель — тем больше будет частное. 

Запишем общий вид деления:

a : b = c,

где a — делимое (то, что делят), b — делитель (то, на что делят), c — частное (результат деления).

Запишем то, что написано в данном свойстве в общем виде:

a : (b · d) = c · d

или

a : (b : d) = c : d.

Пример. Найти, насколько изменится частное от деления чисел 120 и 30, если делитель увеличить в 2 раза; уменьшить в 15 раз.

Решение. Найдём исходное частное:

120 : 30 = 4.

1. Теперь изменим делитель, увеличив его в 2 раза, и найдём новое частное:

30 · 2 = 60.

120 : 60 = 2.

Вычислим разницу между новым частным и изначальным:

4 : 2 = 2.

Значит, при увеличении делителя в 2 раза частное уменьшилось в 2 раза.

2. Сейчас изменим делитель, уменьшив его в 15 раз, и найдём новое частное:

30 : 15 = 2.

120 : 2 = 60.

Вычислим разницу между новым частным и исходным:

60 : 2 = 15.

Значит, при уменьшении делителя 15 раз частное также увеличилось в 15 раз.

Ответ: уменьшилось в 2 раза; увеличилось в 15 раз.

Основное свойство частного

Если увеличить делимое в какое-то количество раз, а затем сделать то же самое с делителем, частное в результате не изменится. Аналогично и обратное: если уменьшить и делимое, и делитель в какое-то количество раз, частное не изменится.

Запишем общий вид деления:

a : b = c,

где a — делимое (то, что делят), b — делитель (то, на что делят), c — частное (результат деления).

Данное свойство можно представить в следующем виде:

(a · d) : (b · d) = c

или

(a : d) : (b : d) = c.

Пример. Насколько изменится частное от деления чисел 200 и 40, если делимое увеличить в 10 раз и делитель также увеличить во столько же раз?

Решение. Найдём исходное частное:

200 : 40 = 5.

1. Теперь изменим делимое и делитель, увеличив в 10 раз:

200 · 10 = 2000.

40 · 10 = 400.

 2. Разделим эти числа друг на друга:

2000 : 400 = 10.

3. Найдём разницу в разах между новым частным и изначальным:

5 : 5 = 1.

Разница между частными составляет единицу. Это значит, что оно не изменилось при изменении чисел.

Ответ: не изменилось.