Импликация

Операция следования или импликации является не самой однозначной. Ее таблица истинности кажется непонятной, поэтому, чтобы лучше разобраться в данном вопросе, начнем с конкретики и пояснений.

Импликация (логическое следование, обозначается как A→B) — это логическая операция, которая моделирует отношение между двумя высказываниями А и В. Она читается как: «если А, то В» или «из А следует В».

Основная идея: импликация утверждает, что если первое высказывание (A) истинно, то второе (B) должно быть также истинным для сохранения логической правильности. Если же первое высказывание ложно, тогда результат импликации не зависит от второго и всегда считается истинным.

Также эту операцию можно представить в виде кругов Эйлера – они отлично демонстрируют принципы следования.

А теперь стоит объяснить импликацию согласно предъявленной выше таблице истинности. Это поможет понять, откуда берутся нули и единицы.

1. A=1, B=1:
   Если предпосылка (A) истинна и вывод (B) тоже истинен, то импликация верна, так как B действительно следует из A.

2. A=1, B=0:
   Здесь предпосылка (A) истинна, но вывод (B) ложен. Это противоречит определению импликации, ведь истинность A "обязывает" B быть истинным. Результат — ложь.

3. A=0, B=1:
   Если предпосылка ложна (A=0), то логика не "обязывает" вывод (B) быть каким-либо определённым. Следовательно, импликация считается истинной независимо от значения B.

4. A=0, B=0:
   Снова предпосылка (A) ложна, что делает импликацию автоматически истинной, так как она не накладывает требований на вывод (B).

Еще проще объяснить импликацию можно при помощи обычных жизненных примеров, таких как:

• Если человек обещает прийти (A), то он должен прийти (B). Если он пришёл, то импликация верна.

• Если он не пришёл (B=0), но обещал (A=1), то импликация ложна, ведь обещание нарушено.

• Если он вообще не обещал (A=0), то результат не важен (B) — импликация истинна.

Теперь, когда есть понимание, как работает импликация, зная про конъюнкцию и дизъюнкцию можно решать довольно сложные задачи. Также необходимо вспомнить еще и правила. В этом случае задания к ЕГЭ можно решить одной левой.

Возьмем в качестве примера классическую задачу.

На складе хранятся три вида товаров: продукты питания (A), бытовая техника (B) и текстиль (C).
Владелец склада установил следующие правила:

1. Если продукты питания (A) есть на складе, то бытовая техника (B) тоже должна быть. (A→B)

2. Если на складе есть и бытовая техника, и текстиль (B∧C), то он получает дополнительную прибыль.

Вопрос:

1. Каково значение логического выражения: (A→B)∧(B∧C), если известны запасы товаров A, B, C?

2. При каких условиях склад будет приносить дополнительную прибыль, и выполняются ли все установленные правила?

Сперва требуется пояснить условие задачи:

1. Импликация A→B: Если на складе есть продукты питания (A), то бытовая техника (B) должна быть тоже. Если A нет, это условие автоматически считается выполненным.

2. Конъюнкция B∧C: Для получения прибыли необходимо наличие как бытовой техники (B), так и текстиля (C).

3. Полное выражение (A→B)∧(B∧C):

• Оба условия должны выполняться одновременно:

• Правило о наличии бытовой техники при наличии продуктов.

• Наличие бытовой техники и текстиля для прибыли.

Для решения задачи составим таблицу истинности следующего вида:

Как будем искать ответ в таблице истинности с использованием импликации?

• A→B:

• Если A=1, то B обязано быть равно 1.

• Если A=0, то A→B автоматически считается 1 (независимо от B).

• B∧C:

• Истинно (1), только если и B=1, и C=1.

• (A→B)∧(B∧C):

• Для истинности всего выражения оба условия должны выполняться одновременно.

• Это возможно только в двух случаях:

• A=0, B=1, C=1 (импликация выполнена, прибыль получена).

• A=1, B=1, C=1 (выполнены правила и получена прибыль).

Резюмируя, составим ответы на вопросы:

1. Значение выражения зависит от значений A, B, C, как показано в таблице истинности.

2. Для получения прибыли (B∧C=1) необходимо наличие как бытовой техники (B=1), так и текстиля (C=1).

3. Все правила выполнены, если (A→B)=1, что требует:

• A=0 (правило автоматически выполняется) или
• A=1, B=1.

С учетом разобранной задачи, подготовка к ЕГЭ более не должна вызывать трудностей. Поэтому для самостоятельного разбора предлагаем следующие задачи:

Задача 1: Проверка условий на перекрестке

На перекрестке действует система автоматического контроля. Светофоры работают по следующим правилам:

1. Если горит красный свет (R), то движение запрещено (M). (R→-M)

2. Если горит зеленый свет (G) и нет препятствий (P), то движение разрешено (M). (G∧-P→M)

Условия:

• Перекресток оборудован датчиком препятствий. P=1 означает, что на дороге есть препятствие, P=0 — препятствий нет.

• R=1 горит красный свет, G=1 горит зеленый свет.

Вопросы:

1. Будет ли движение разрешено (M) при следующих условиях:

• Горит зеленый свет (G=1) и препятствий нет (P=0).

• Горит красный свет (R=1), но препятствия отсутствуют (P=0).

2. Какие значения должны принимать R, G, и P, чтобы оба правила выполнялись?

Задача 2: Поставка товаров

Компания планирует доставку заказов в три магазина: A, B, и C. Для этого действуют следующие правила:

1. Если поставка в магазин A не выполнена (-A), то обязательно должны быть выполнены поставки в B и C. (¬A→(B∧C))

2. Если поставка в B выполнена (B), но в C — нет (-C), то поставка в A становится необязательной. (B∧-C→-A)

Условия:

• A=1: доставка в магазин A выполнена, A=0: доставка не выполнена (аналогично для B и C).

Вопросы:

1. Может ли выполнение только одной поставки (A, B, или C) удовлетворить оба правила?

2. Какие значения переменных A, B, и С делают оба правила истинными? 

Задача 3: Экзаменационные оценки

Студент должен сдать два экзамена: теоретический (T) и практический (P). Условия для получения зачета:

1. Если студент успешно сдает теорию (T=1), то практический экзамен тоже должен быть сдан (P=1). (T→P)

2. Если студент не сдает теорию (-T), то практическая часть становится необязательной, но студент все равно должен выполнить дополнительное задание (D). (¬T→D)

Условия:

• T=1: теория сдана, P=1: практика сдана, D=1: дополнительное задание выполнено.

Вопросы:

1. Может ли студент получить зачет, если он провалил теорию, но выполнил дополнительное задание?

2. В каких случаях все условия будут выполнены, чтобы студент получил зачет?